Ensino Médio ⇒ Progressão Aritmética - Soma dos termos de uma P.A.

[mauriciosteh]

1ª Pessoa - paga R$ 0,01
2ª Pessoa - para R$ 0,02
3ª Pessoa - paga R$ 0,03
4ª Pessoa - paga R$ 0,04
5ª Pessoa - paga R$ 0,05 - Até aqui, total arrecado é a soma
Total até aqui: R$ 0,15 centavos de real.

Quantos lances (pessoas) serão necessários para atingir um valor pré determinado?
(por exemplo - R$ 150.000,00 )

[jrneliodias]

Olá, Mauricio.

Temos uma P.A. cujo o primeiro termo é [tex3]0,01[/tex3] e razão [tex3]0,01[/tex3]. Note que o número de termos da PA é o número de lances.

Termo geral da PA:

[tex3]v=0,01+(0,01)\cdot(n-1)[/tex3]

Onde [tex3]v[/tex3] é o valor do lance.

O somatório dos valores é [tex3]100.000,00[/tex3] (valor melhor de se trabalhar), então:

[tex3]\frac{(a_1+a_n)\,n}{2}=10^5\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,[0,01+0,01+(0,01)(n-1)]n=2\cdot 10^5[/tex3]

[tex3]\left(2\cdot 10^{-2}+(n-1)\cdot10^{-2}\right) n=2\cdot 10^5[/tex3]

Multiplicando por [tex3]10^2[/tex3] a equação:

[tex3]n\,(n+1)=2\cdot 10^7\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,n^2+n-2\cdot 10^7=0[/tex3]

[tex3](n+2\cdot 10^7)(n-10^7)=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,n=-2\cdot 10^7\,\,\,\,ou\,\,\,\,n=10^7[/tex3]

Como não número de termos negativos:

[tex3]n=10^7[/tex3]

Portanto, para obtermos [tex3]R\$\,100.000,00[/tex3], teremos que dar [tex3]10.000.000[/tex3] lances.

Espero ter ajudado, abraço.