IME / ITA ⇒ (ITA-1981) Função

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Seja [tex3]g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] uma função não-nula que satisfaz para todo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y\in \mathbb{R}[/tex3], a relação [tex3]g(x+y)=g(x)+g(y)[/tex3]. Se [tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] for definida por [tex3]f(x)=sen\left[\frac{2g(x)}{a}\right][/tex3]; [tex3]a \neq 0[/tex3], então:

a) [tex3]f[/tex3] é periódica com período [tex3]\pi a[/tex3].
b) Para [tex3]a=n[/tex3]; [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] temos [tex3]f(n)=2sen[g(1)][/tex3].
c) Se [tex3]g(1)\neq 0[/tex3], então [tex3]g(1)=f(0)[/tex3].
d) Se [tex3]g(T)=\pi a[/tex3], então T é período de f.

Gabarito:

Resposta

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Alternativa d.

[jrneliodias]

Olá, rflbboy.

Olhemos para [tex3]g[/tex3], seja [tex3]x=y=0[/tex3], teremos:

[tex3]g(0+0)=g(0)+g(0)\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,g(0)=0[/tex3]

Essa é a única afirmação que podemos ter em relação a [tex3]g[/tex3]. Por isso, as letras a e b estão erradas. Na primeira, para cada valor de [tex3]g(x)[/tex3], obteremos um período para [tex3]f[/tex3] e na letra b, não temos [tex3]g(1)[/tex3].

Na letra c, [tex3]f(0)=\sin \left[\frac{2g(0)}{a}\right]=\sin 0=0[/tex3], o que negaria a hipótese dele.

Na última, se [tex3]g(T)=a\pi[/tex3], então [tex3]f(T)=\sin \left[\frac{2g(T)}{a}\right]=\sin \left[\frac{2a\pi}{a}\right]=\sin\,2\pi=0[/tex3]

Semelhante a essa situação, temos que [tex3]f(0)=0[/tex3], logo podemos dizer que [tex3]T[/tex3] é período da função.

Espero ter ajudado, abraço.