IME/ITA ⇒ (Simulado ITA) Dilatação e Pêndulos Tópico resolvido

[Radius]

Um relógio, com pêndulo metálico, adianta [tex3]5\, s[/tex3] por dia a uma temperatura de [tex3]15 ^\circ C[/tex3] e atrasa [tex3]30 \,s[/tex3] por dia a uma temperatura de [tex3]30 ^\circ C[/tex3]. Determine o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo, em [tex3]^\circ C ^{-1}[/tex3]

Dados:

[tex3](n + 1)^{1/2} \approx \frac{n}{2} + 1[/tex3], para [tex3]n < 10^{-4}[/tex3]

[tex3]\frac{m-a}{m+b} \approx 1 - \frac{a+b}{m}[/tex3], para [tex3]m > 10^4[/tex3]

[tex3]a)\,\,\, 1,2 \times 10^{-5} \\
b)\,\,\, 2,3 \times 10^{-5}\\
c)\,\,\, 3,1 \times10^{-5}\\
d)\,\,\, 4,3 \times 10^{-5}\\
e)\,\,\, 5,1\times 10^{-5}\\[/tex3]

Gabarito

---

B

Fonte: Questão 20

Tópicos similares:
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[Radius]

Com a mesma técnica de resolução desse tópico: viewtopic.php?t=24894

cheguei em [tex3]\alpha=5,4.10^{-5}\,^\circ C^{-1}[/tex3] e a temperatura ideal [tex3]t=\frac{120}{7}\approx 17,1 \,^\circ C[/tex3]

alguém conseguiu?

[theblackmamba]

Olá Radius,

Fiz várias vezes e acho sempre o mesmo resultado que o seu!

Seja [tex3]T_1[/tex3] o período do pêndulo a temperatura de 15ºC e [tex3]T_2[/tex3] na temperatura de 30ºC e período normal [tex3]T[/tex3] em uma temperatura [tex3]\theta[/tex3].

[tex3]T_1=\left(1-\frac{5}{24\cdot 3600}\right) \cdot T=\left(\frac{17279}{17280}\right)\cdot T[/tex3]
[tex3]T_2=\left(1+\frac{30}{24\cdot 3600}\right) \cdot T=\left(\frac{2881}{2880}\right)\cdot T[/tex3]

Dividindo:

[tex3]T_1=\frac{17279\cdot \cancelto{0}{2880}}{\cancelto{6}{17280}\cdot 2881}\cdot T_2[/tex3]
[tex3]T_1=\frac{17279}{17286}\cdot T_2[/tex3]

[tex3]T_1=\frac{17279-0}{17279+7}\cdot T_2\,\,\approx\,\,\left(1-\frac{7}{17279}\right)\cdot T_2\,\,\approx\,\,(1-4,05\cdot 10^{-4})\cdot T_2[/tex3]

[tex3]T=2\pi\sqrt{\frac{\ell(1+\alpha \Delta T)}{g}}[/tex3]

Logo,
[tex3]\sqrt{1+\alpha \Delta T_1}=(1-4,05\cdot 10^{-4})\cdot \sqrt{1+\alpha \Delta T_2}[/tex3]. Considerando o produto [tex3]\alpha \Delta T<10^{-4}[/tex3] logo:

[tex3]\left(\frac{\alpha \Delta T_1}{2}+1\right)=(1-4,05\cdot 10^{-4})\cdot \left(\frac{\alpha \Delta T_2}{2}+1\right)[/tex3]
[tex3]\frac{\alpha\Delta T_1}{2}=\frac{\alpha \Delta T_2}{2}-2,025\cdot 10^{-4}\cdot \alpha \Delta T_2-4,05\cdot 10^{-4}[/tex3]

Note que o produto [tex3]2,025\cdot 10^{-4}\cdot \alpha \Delta T_2[/tex3] é muito pequeno e podemos desconsiderá-lo:

[tex3]\alpha\cdot (\Delta T_2-\Delta T_1)=8,1\cdot 10^{-4}[/tex3]
[tex3]\alpha=\frac{8,1\cdot 10^{-4}}{(\theta-30)-(\theta-15)}[/tex3]
[tex3]\boxed{\alpha=(5,4\cdot 10^{-5})^{\circ}C}[/tex3]

Abraço.