Olimpíadas ⇒ (Argentina - 1987) Fatoração Tópico resolvido

[FRANCISCO749]

Sabendo que [tex3]x[/tex3] é um numero positivo e que [tex3](x+x^{-1})^2=7[/tex3], calcular [tex3]x^{3}+x^{-3}[/tex3].

Resposta

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Resp:[tex3]4\sqrt{7}[/tex3]

[theblackmamba]

Olá Francisco,

Temos que:

[tex3]\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=7[/tex3]
[tex3]x+\frac{1}{x}=\sqrt{7}[/tex3], pois [tex3]x[/tex3] é positivo.

Queremos saber o valor de [tex3]x^3+\frac{1}{x^3}[/tex3]:

Elevando os dois lados da expressão inicial ao cubo. Utilize a relação: [tex3](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex3]:

[tex3]x^3+3\cdot x^2\cdot \frac{1}{x}+3\cdot x\cdot \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=\sqrt{7^3}[/tex3]
[tex3]x^3+\frac{1}{x^3}+3x+\frac{3}{x}=7\sqrt{7}[/tex3]
[tex3]x^3+\frac{1}{x^3}+3\cdot \left(x+\frac{1}{x}\right)=7\sqrt{7}[/tex3]
[tex3]x^3+\frac{1}{x^3}+3\sqrt{7}=7\sqrt{7}[/tex3]
[tex3]\boxed{x^3+\frac{1}{x^3}=4\sqrt{7}}[/tex3]


Abraço.

[FRANCISCO749]

Valeu pela resolução.Ajudou muito!!!