IME / ITA ⇒ (IME - 1973) Trigonometria Tópico resolvido

[jrneliodias]

Num triângulo obtusângulo, o ângulo obtuso mede [tex3]105^\circ[/tex3]. Determine o valor de [tex3]n[/tex3] de modo que os ângulos agudos sejam raízes da equação:

[tex3]3\,\sec x+n\left(\frac{1}{\sec x}-\frac{1}{\csc x}\right)=3\left(\frac{1}{\sec x}+\frac{1}{\csc x}\right)[/tex3]

Não tenho o gabarito.

Obrigado pela atenção.

[theblackmamba]

Substituindo as relações vamos ter:

[tex3]\frac{3}{\cos x}+n\cdot (\cos x-\sin x)=3\cdot (\cos x+\sin x)[/tex3]
[tex3]\cos^2 x\cdot (3-n)+\sin x \cdot \cos x\cdot (3+n)-3=0[/tex3]

Seja [tex3]\alpha,\theta[/tex3] os ângulos agudos do triângulos tal que [tex3]\alpha+\theta=75^{\circ}[/tex3].

[tex3]\begin{cases}\cos^2 \alpha\cdot (3-n)+\sin \alpha \cdot \cos \alpha\cdot (3+n)-3=0\\\cos^2 \theta\cdot (3-n)+\sin \theta \cdot \cos \theta\cdot (3+n)-3=0\end{cases}[/tex3]

Subtraindo:

[tex3](3-n)\cdot (\cos^2 \alpha-\cos^2\theta)+(3+n)\cdot (\sin \alpha \cdot \cos \alpha-\sin \theta \cdot \cos \theta)=0[/tex3]

Manipulações:
[tex3]\sin \alpha \cdot \cos \alpha-\sin \theta \cdot \cos \theta=\frac{\sin 2\alpha-\sin 2\theta}{2}=\frac{2\sin(\alpha-\theta)\cdot \cos (\alpha+\theta)}{2}[/tex3]

[tex3]\cos^2 \alpha-\cos^2\theta=\frac{\cos 2\alpha+1}{2}-\frac{\cos 2\theta+1}{2}[/tex3]
[tex3]\cos^2 \alpha-\cos^2\theta=\frac{\cos 2\alpha-\cos 2\theta}{2}=\frac{-2\sin (\alpha+\theta)\cdot \sin (\alpha-\theta)}{2}[/tex3]

Logo,
[tex3]- (3-n)\cdot \sin (\alpha+\theta)\cdot \sin (\alpha-\theta)+(3+n)\cdot \sin(\alpha-\theta)\cdot \cos (\alpha+\theta)=0[/tex3]

Note que [tex3]\sin(\alpha-\theta)\neq 0[/tex3] então podemos simplificar:

[tex3](n-3)\cdot \sin(\alpha+\theta)+(n+3)\cdot \cos (\alpha+\theta)=0[/tex3]
[tex3]\tan (\alpha+\theta)=-\frac{(n+3)}{(n-3)}[/tex3]

[tex3]\tan75^{\circ}=\tan(45^{\circ}+30^{\circ})=\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ}\cdot \tan 30^{\circ}}=2+\sqrt{3}[/tex3]

Logo,
[tex3](n-3)\cdot (2+\sqrt{3})=-(n+3)[/tex3]
[tex3]2n+n\sqrt{3}-6-3\sqrt{3}=-n-3[/tex3]
[tex3]n=\frac{3+3\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}[/tex3]

Racionalizando...

[tex3]\boxed{\boxed{n=\sqrt{3}}}[/tex3]

Abraços.

[jrneliodias]

Theblackmamba,

Nesta passagem,

Manipulações:
[tex3]\sin \alpha \cdot \cos \alpha-\sin \theta \cdot \cos \theta=\sin (\alpha-\theta)[/tex3]

[tex3]2\cdot (n-3)\cdot \sin(\alpha+\theta)-(n-3)=0[/tex3]

Não seria, respectivamente, igual a

[tex3]\frac{\sin 2\alpha -\sin 2\theta}{2}[/tex3]
[tex3]2\cdot (n-3)\cdot \sin(\alpha+\theta)-(n+3)=0[/tex3]

Abraço. Obrigado pela ajuda.

[theblackmamba]

Olá jrneliodias,
Dei uma arrumada. Espero que agora esteja certo.
Abraço.

[jrneliodias]

Theblackmamba,

Por que [tex3]\sin( \alpha - \theta) \neq 0[/tex3]

Obrigado.

[theblackmamba]

Olá jrneliodias,

Eu "cortei" esse termo pois imaginei que os ângulos seriam diferentes, porém não é possível afirmar isso a partir dos dados. Vi que fui pelo caminho mais difícil. Porém vi outra maneira para "fugir" dessa prova e pegar o resultado direto.

Temos:
[tex3]\cos^2 x\cdot (3-n)+\sin x \cdot \cos x\cdot (3+n)-3=0[/tex3]
[tex3]3\cdot (\underbrace{\cos^2x-1}_{-\sin^2x}+\sin x\cdot \cos x)-n\cdot (\cos^2x-\sin x \cdot \cos x)=0[/tex3]
[tex3]3\sin x\cdot (\cos x-\sin x)-n\cos x\cdot (\cos x-\sin x)=0[/tex3]
[tex3](3\sin x-n\cos x)\cdot (\cos x-\sin x)=0[/tex3]
[tex3]\left(\tan x-\frac{n}{3}\right)\cdot \left(\tan x-1\right)=0[/tex3]

Onde aqui já aparecem as duas raízes da equação na forma fatorada:

[tex3]\tan x=1[/tex3]
[tex3]\tan x=\frac{n}{3}[/tex3]

Ou seja, um dos ângulos agudos é [tex3]45^{\circ}[/tex3]. Logo o outro ângulo só pode ser [tex3]30^{\circ}[/tex3].

Logo,
[tex3]\frac{n}{3}=\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{n=\sqrt{3}}[/tex3]

Abraço.