Ensino Superior ⇒ Altura relativa

[Adam]

Sejam, em relação a um sistema ortogonal, A=(1,4,0), B=(2,1,-1) e C=(1,2,2). Escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura relativa ao vértice B.

Gabarito:
[tex3]X=(2,1,-1)+\lambda (1,-2,-2)[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Olá, Adam!

Vou utilizar um pouco de álgebra linear na resolução desse exercício.
Considere que a equação vetorial da reta a ser determinada possua vetor diretor [tex3]\vec{v} = \left(a,b,c\right)[/tex3]. A primeira condição dessa reta é que o produto interno [tex3]\left\langle \vec{v} , \overrightarrow{AC}\right \rangle[/tex3] seja nulo (condição para que o vetor diretor e [tex3]\overrightarrow{AC}[/tex3] sejam ortogonais). Sendo [tex3]\overrightarrow{AC} = \left(0, -2, 2 \right)[/tex3], temos:
[tex3]0 - 2b + 2c = 0 \Rightarrow b = c \ \ \ \left(1\right)[/tex3]
A outra condição que o vetor diretor deve satisfazer é que ele seja combinação linear de [tex3]\overrightarrow{AC}[/tex3] e [tex3]\overrightarrow{AB}[/tex3] (essa condição é necessária porque um vetor que passa por [tex3]B[/tex3] é ortogonal à [tex3]\overrightarrow{AC}[/tex3] não necessariamente contém a altura desejada). Logo, obtemos a seguinte matriz:

[tex3]\left[\begin{array}{ccc}
1 & -3 & -1 \\
0 & -2 & 2 \\
a & b & b \\
\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}
1 & -3 & -1 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & b + 3a & b+a \\
\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}
1 & -3 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 2b + 4a \\
\end{array}\right][/tex3]

Com isso, descobrimos que devemos ter também [tex3]a = - \frac{b}{2} \ \ \ (2)[/tex3]. Das condições [tex3](1)[/tex3] e [tex3](2)[/tex3], observamos que todo vetor diretor que contém a altura relativa procurada é da forma [tex3]\left(-\frac{1}{2}b ,b,b\right)[/tex3]. Em particular, para [tex3]b = -2[/tex3], temos [tex3]v = \left(1, -2 , -2 \right)[/tex3]. Logo:

[tex3]\boxed{X = \left(2,1,-1\right) + \lambda \left(1,-2,-2\right)}[/tex3]

Grande abraço!