Olimpíadas ⇒ (Prasolov) Medianas Tópico resolvido

[theblackmamba]

As medianas de um triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] são [tex3]m_a,m_b,m_c[/tex3] respectivamente aos seus lados [tex3]a,b,c[/tex3]. Demonstrar a relação

[tex3]m_a^4+m_b^4+m_c^4=\frac{9}{16}\cdot (a^4+b^4+c^4)[/tex3]

Agradeço a atenção.
Abraço.

[Radius]

Você sabe demonstrar, pelo teorema de stweart por exemplo, que o comprimento de uma mediana em relação a um dos vértices é:

[tex3]\begin{cases}
m_a=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} \\
m_b=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2(a^2+c^2)-b^2} \\
m_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}
\end{cases}[/tex3]

Jogando tudo em [tex3]m_a^4+m_b^4+m_c^4[/tex3] o resultado é direto. Só continhas.

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black, quem é esse "Prasolov" e poderia falar um pouco sobre o livro dele?

[theblackmamba]

Prasolov igual ao Irodov são russos, porém é só de matemática mais avançada do que os livros comuns, voltado mais para olímpiadas.
Abraço.