IME/ITA ⇒ (Irodov) Termodinâmica Tópico resolvido

[theblackmamba]

Um pistão pode mover-se livremente dentro de um cilindro horizontal fechado em ambas extremidades. Inicialmente, o pistão separa o espaço interno do cilindro em duas partes de iguais volumes [tex3]v_0[/tex3], em cada uma parte um gás ideal de quantidade [tex3]1\,mol[/tex3] é submetido a mesma pressão [tex3]p_0[/tex3] e sob mesma temperatura. Qual trabalho deve ser feito no gás com o objetivo de aumentar isotermicamente o volume de uma das partes em [tex3]\eta[/tex3] vezes comparado com a outra parte por movimentar lentamente o pistão ? Desconsidere os efeitos de atrito.

Resposta

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[tex3]W=p_0v_0\cdot \ln \,\left[\frac{(\eta+1)^2}{4\eta}\right][/tex3]

Agradeço a atenção.
Abraço.

[Radius]

Seja 1 e 2 os índices para as partes do gás. Queremos que isso aconteça:

[tex3]\begin{cases}
V_1+V_2=2V_0 \\
V_2=\eta \cdot V_1
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema: [tex3]\boxed{V_1=\frac{2V_0}{\eta +1}}[/tex3] [tex3]\boxed{V_2=\frac{2\eta V_0}{\eta +1}}[/tex3]

Para uma isotérmica, o trabalho é dado por

[tex3]W=nRT\cdot \ln \frac{V_f}{V_i}[/tex3]

Teremos que somar os trabalhos de expansão do gás em uma parte do cilindro e de compressão na outra parte. Ou seja:

[tex3]W=W_1+W_2=nRT\cdot \left( \ln \frac{V_{f1}}{V_{i1}}+\ln \frac{V_{f2}}{V_{i2}}\right)[/tex3]

[tex3]W=nRT\cdot \left( \ln \frac{2V_0}{(\eta +1)V_0}+\ln \frac{2\eta V_0}{(\eta +1)V_0}\right)[/tex3]

[tex3]W=nRT\cdot \left( \ln \frac{2}{\eta +1}+\ln \frac{2\eta }{\eta +1}\right)[/tex3]

[tex3]W=nRT\cdot \ln \frac{4\eta }{(\eta +1)^2}[/tex3]

e substituindo, da lei dos gases, [tex3]P_0V_0=nRT[/tex3],

[tex3]\boxed{W=P_0V_0\cdot \ln \frac{4\eta }{(\eta +1)^2}}[/tex3]

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obs: em alguns livros, especialmente os de físico-química, o trabalho é definido com o sinal negativo:
[tex3]W=-nRT\cdot \ln \frac{V_f}{V_i}[/tex3], o que ocasionaria a inversão da fração no logaritmo.
O sinal que você usar depende da interpretação da fórmula. Mas em todo caso, chegariamos na mesma resposta, apenas com sinais invertidos

black, quem é esse "Irodov" e poderia falar um pouco sobre o livro dele?

[theblackmamba]

Irodov era um físico russo que publicou o livro Irodov - Problems In General Physics com apenas exercícios diferentes e com grau de dificuldade maior que os exercícios normais de todas as áreas da física. Esse exercício ainda estava na parte fácil.
Abraço.