Pré-Vestibular ⇒ (MACK-SP) Função composta Tópico resolvido

[DaviBahia]

Seja [tex3]y = f(x)[/tex3] uma função definida no intervalo [tex3][-5\,;\,4\,][/tex3] pelo gráfico dado. Então, o valor de [tex3]f(f(-3))[/tex3] é:

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[tex3]a)\,\,-2[/tex3]
[tex3]b)\,\,0[/tex3]
[tex3]c)\,\,-1[/tex3]
[tex3]d)\,\,1[/tex3]
[tex3]e)\,\,2[/tex3]

Gabarito:

---

Letra b.

[jrneliodias]

Bem, DaviBahia.

Inicialmente, olhando para o gráfico, temos que [tex3]f(-3)=2[/tex3]. Então:

[tex3]f(f(-3))=f(2)[/tex3]

Agora, temos que para o intervalo [tex3][-1\,,\,4\,][/tex3], a função [tex3]f[/tex3] é afim. Temos os pontos [tex3](-1,\,3\,)[/tex3] e [tex3](\,4\,,\,2)[/tex3] e sabemos que a forma geral de uma função afim é [tex3]y=ax+b[/tex3]. Podemos fazer um sistema:

[tex3]\begin{cases}a(-1)+b=-3 \\ a(4)+b=2\end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\begin{cases}a-b=3 \\ 4a+b=2\end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a=1\,\,\,\,\,e\,\,\,\,b=-2[/tex3]

Desta forma, podemos afirmar que para [tex3][-1\,,\,4\,][/tex3], [tex3]f(x)=x-2[/tex3]. Portanto:

[tex3]\boxed{f(2)=0}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[DaviBahia]

Muito obrigado, jrnelio

[DaviBahia]

Analisando novamente a questão, tive uma dúvida...

f(-3) = 2, como demonstrando no início da resolução.

Pede-se, então, o f(2).

Porém, o "2" está no eixo y. Como se pode pedir o f(2)?

Isso só seria possível se considerássemos o "2" como algum ponto do eixo x, o que ficaria um pouco estranho, pois já não seria o mesmo 2, entende?

[jrneliodias]

Não, você está confundido as coisas. [tex3]f(x)=y[/tex3].

Então quem está no eixo [tex3]y[/tex3] é o [tex3]f(2)[/tex3] cuja abcissa correspondente é o [tex3]x=2[/tex3]

Abraço.

[DaviBahia]

Analisemos a expressão inicial da resolução: f(-3) = 2.

Então, esse 2 é o y.

Depois, calculamos o f(2). É ai que está o "problema": f(2) é um f(y), conforme visto anteriormente, entende?

[jrneliodias]

Entendi. Sua dúvida está na definição da função composta. Você se apegou que os elementos do domínio devem ser representados por [tex3]x[/tex3] e do contradomínio é [tex3]y[/tex3]. Porém, isso é apenas uma convenção.

Estamos lidando com [tex3](f\circ f)(x)[/tex3], então:

[tex3](f\circ f)(x)=f(f(x))=f(y)[/tex3]

Outra maneira de encarar isso, é que estamos trabalhando com função [tex3]f[/tex3] e sua inversa [tex3]f^{-1}[/tex3], onde [tex3]f: A\to B[/tex3] e sua inversa a faz a volta [tex3]f^{-1}:B\to A[/tex3]. Então, os elementos do domínio da inversa, são os [tex3]y[/tex3].

Espero ter ajudado, abraço.

[DaviBahia]

Entendi

Nesse f(y), é como se eu "transferisse" o 2 do eixo y para o eixo x e encontrasse o y correspondente a tal x, entende? Ou seja, faz-se uma inversão. Correto?

Fiz um desenho para apresentar melhor essa ideia...

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[jrneliodias]

Sim, exatamente, é uma maneira de ver. Mais corretamente, seria você dizer que se faz a inversão entre o domínio e o contra domínio.

Abraço.

[DaviBahia]

Muito obrigado... essa ideia estava muito abstrata para mim e somente agora consegui entender de uma forma mais prática.