Olimpíadas ⇒ (Portugal - 1994) Geometria Plana Tópico resolvido

[jrneliodias]

Na figura seguinte os arcos [tex3]AB[/tex3] e [tex3]BD[/tex3] têm o mesmo comprimento e [tex3]M[/tex3] é o pé da perpendicular traçada a partir de [tex3]B[/tex3] sobre o segmento de reta [tex3]AC[/tex3].

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Prove que [tex3]AM=CD+CM[/tex3]

Obrigado pela atenção.

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[tex3]\overline{AC}//\overline{DJ}\Rightarrow \overline{CD}\equiv\overline{AJ}[/tex3].
[tex3]\overline{BD}\equiv\overline{AB}\Rightarrow \Delta DBA[/tex3] é isósceles [tex3]\Rightarrow B\hat{DA}\equiv D\hat{A}B[/tex3].

Olhando para o arco [tex3]\widehat{AB}[/tex3] podemos concluir que [tex3]B\hat{D}A\equiv B\hat{C}A\equiv A\hat{J}B[/tex3].
Olhando para o arco [tex3]\widehat{BD}[/tex3] podemos concluir que [tex3]B\hat{A}D\equiv B\hat{J}D[/tex3].
[tex3]\overline{AC}//\overline{DJ} \Rightarrow B\hat{J}D\equiv B\hat{N}M[/tex3].
[tex3]\Delta CBN[/tex3] é isósceles e [tex3]\overline{BM}[/tex3] é a altura do [tex3]\Delta CBN[/tex3], portanto [tex3]\overline{CM}\equiv\overline{MN}[/tex3].
[tex3]B\hat{N}C\equiv A\hat{N}J \Rightarrow \Delta ANC[/tex3] é isósceles.
[tex3]\overline{CD}\equiv \overline{AJ}\equiv \overline{AN}[/tex3].

Concluindo, temos que [tex3]\overline{CM}\equiv\overline{MN}[/tex3], [tex3]\overline{CD}\equiv \overline{AJ}\equiv \overline{AN}[/tex3] e [tex3]\overline{AM}=\overline{MN}+ \overline{NA}[/tex3].

[tex3]\therefore AM=CM+ CD[/tex3]. (C.Q.D.)

Espero ter ajudado!