Ensino Médio ⇒ (Iezzi)-Sistema de Logaritmos. Tópico resolvido

[BrunoCFS]

Resolva o sistema.
[tex3]\left\{\begin{matrix}
x^{\log \, \, y}+y^{\log \, \, x}=200 & \\
\sqrt{x^{\log \, \, y}\, \, \cdot \, \, y^{\log \, \, x}}=y &
\end{matrix}\right.[/tex3]

Alguém poderia me ajudar com essa questão ?
Agradeço desde já pela atenção.

Abraço !

[jrneliodias]

Olá, Bruno.

Olhando para a segunda equação, transformemos em logaritmos na base 10:

[tex3]\sqrt{x^{\log\, \, y}\, \, .\, \, y^{\log\, \, x}}=y \,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\log y\cdot \log x+\log x\cdot \log y=2\,\log y\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\\\\\log y\,(\log x-1)=0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,y=1\,\,\,\,ou\,\,\,\,x=10[/tex3]

Testando as raízes na primeira equação:

[tex3]y=1\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x^{\log 1}+1^{\log x} =200\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,200=2\,\,(falso)[/tex3]

[tex3]x=10\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,10^{\log y}+y^{\log 10}=200\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,y=100[/tex3]

Testando [tex3]y=100[/tex3] na segunda equação:

[tex3]\sqrt{x^{\log\, \, 100}\, \, .\, \, 100^{\log\, \, x}}=100\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\sqrt{x^2\cdot x^2}=100\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x=10[/tex3]

[tex3]x=-10[/tex3] não é válido pela condição de existência do logaritmo.

Portanto:

[tex3]\boxed{S=\{\,10\,,\,100\,\}}[/tex3]

---------------------------------------------------------------------------------

Propriedade na qual você possa não estar familiarizada:

[tex3]a^{\log_a b}=b[/tex3]

Pois fazendo [tex3]a^{\log_a b}=x[/tex3], podemos aplicar logaritmo na base [tex3]a[/tex3] dos dois lados:

[tex3]\log_a a^{\log_a b}=\log_a x\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\log_a b=\log_a x\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x=b[/tex3]

Então:

[tex3]a^{\log_a b}=x\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a^{\log_a b}=b[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[BrunoCFS]

Ali no começo não entendi como isso, [tex3]\log y\cdot \log x+\log x\cdot \log y=2\,\log y[/tex3] virou isso [tex3]log_{y}\, \, (log_{x}\, \, -1)=0[/tex3] ?
Pois, isso na minha visão ficaria.
[tex3]2.(log\, \, y+log\, \, x)=2log\, \, y[/tex3]
não entendi isso...

[jrneliodias]

Então, Bruno.

[tex3]\log y\cdot \log x+\log x\cdot \log y=2\,\log y\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,2\log x\cdot \log y=2\log y\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,[/tex3]

[tex3]\small \log x\cdot \log y=\log y\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\log x\cdot \log y-\log y=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\log y\, (\log x-1)=0[/tex3]

Não esqueça, quando tivermos

[tex3]ab=ac\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a(b-c)=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a=0\,\,\,\,ou\,\,\,b=c[/tex3]

Veja que há duas possibilidades para a igualdade ser verdadeira. Então só podemos cortar o [tex3]a[/tex3] se for claro que ele é diferente de zero, ai nesse caso, afirmaremos que [tex3]b=c[/tex3].

Portanto, na questão, não sabemos se [tex3]\log y=0[/tex3], por isso analizamos os dois casos.

Outra coisa, os livros do Gelson Iezzi possuem gabarito, então não esqueça de postá-los.

Abraço.

[BrunoCFS]

Entendi. Mas, outra coisa que não entendi foi como você achou os valores de "x" e "y" a partir disso [tex3]log_{y}\, \, (log_{x}\, \, -1)=0[/tex3] ? você disse que y=1 e x=10 como você fez ?

[jrneliodias]

Ok, vamos lá.

Quando um produto é nulo, podemos afirmar que pelo menos um de seus termos é nulo. Ou seja:

[tex3]a\cdot b=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,a=0\,\,\,ou\,\,\, b=0[/tex3]

Diante disso:

[tex3]\log y\cdot (\log x-1)=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\log y=0\,\,\,ou\,\,\,\log x-1=0[/tex3]

[tex3]\log y=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,y=10^0\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,y=1[/tex3]

[tex3]\log x=1\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x=10^1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x=10[/tex3]

Portanto, podemos afirmar que:

[tex3]\log y\cdot (\log x-1)=0\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,y=1\,\,\,ou\,\,\,\,x=10[/tex3]

Qualquer dúvida, pode perguntar.

[BrunoCFS]

Eu confundi, pensei que o "y" do primeiro log estava na base. assim...> [tex3]log_{y}[/tex3] e isso aqui [tex3](log_{x}\, \, -1)[/tex3] estava no logaritmando.
Entendi, obrigado. Agora irei tentar fazer os demais exercícios.
Só mais uma coisa, quando você começou com a resolução do exercício como você percebeu que seria mais conveniente começar pela segunda equação ? e não pela primeira. ou tanto faz ?

[jrneliodias]

Eu procuro enxerga o que eu consigo fazer com a equação aplicando propriedades afim de achar o valor de uma variável ou uma relação entre as variaveis. Veja que na primeira, inicialmente, não podemos fazer quase nada para que fique com uma cara melhor do que está. Na segunda, como é um produto, podemos aplicar propriedades logarítmicas. Mas, você verá que isso é uma questão de prática e exercícios.

Abraço.

[BrunoCFS]

Ok, obrigado pela ajuda. =D