Pré-Vestibular ⇒ (UFSCAR - 2006) Função Logarítmica

[Cientista]

A curva a seguir indica a representação gráfica de uma função [tex3]f(x)=\log_{2}x[/tex3], sendo [tex3]D[/tex3] e [tex3]E[/tex3] dois dos seus pontos.

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Se os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] tem coordenadas respectivamente iguais a [tex3](k;0)[/tex3] e [tex3](4;0)[/tex3],com [tex3]k[/tex3] real e [tex3]k>1[/tex3], a área do triangulo [tex3]\triangle CDE[/tex3] será igual a [tex3]20\,\%[/tex3] da área de um trapézio [tex3]ABDE[/tex3] quando o valor de [tex3]k[/tex3] é igual respectivamente a

[tex3]a)\,\,\sqrt[3]{2}[/tex3]
[tex3]b)\,\,\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]c)\,\,\,2\sqrt[3]{2}[/tex3]
[tex3]d)\,\,2\sqrt 2[/tex3]
[tex3]e)\,\,3\sqrt[4]{2}[/tex3]

Gabarito:

---

Letra c

[jrneliodias]

Olá, Ronny.

Notemos que os pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]E[/tex3], [tex3]B[/tex3], [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] possui a mesma abcissa, assim como [tex3]E[/tex3] e [tex3]C[/tex3] possui a mesma ordenada. Logo:

[tex3]A\,(k\,,\,0)[/tex3]
[tex3]B\,(4\,,\,0)[/tex3]
[tex3]C\,(4\,,\,\log_2 k)[/tex3]
[tex3]D\,(4\,,\,\log_2 4)[/tex3]
[tex3]E\,(k\,,\,\log_2 k)[/tex3]

A aréa do triângulo é [tex3]20\,\%[/tex3] a do trapézio:

[tex3]0,2\,\,\frac{(\log_2 k+\log_2 4)(4-k)}{2}=\frac{1}{2}\,(\log_2 4-\log_2 k)(4-k)[/tex3]

[tex3]\log_2 4k=5\log_2\left(\frac{4}{k}\right)[/tex3]

[tex3]4k=\left(\frac{4}{k}\right)^5[/tex3]

[tex3]k^6=4^4[/tex3]

[tex3]k=\sqrt[6]{2^8}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,k=\sqrt[3]{2^4}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{k=2\sqrt[3]{2}}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[Cientista]

Nao percebi como voce achou as coordenadas dos pontos C,D,E. Outra dúvida é da formula, voce usou a do triangulo ou trapézio pois trapezio é dado por (B+b).h/2

[jrneliodias]

Bem, Ronny.

Olhe para a reta em que C e D estão contidos, ela é perpendicular ao eixo das abcissas. Significa que todos os pontos dessa reta possui a mesma abscissa, ou seja, [tex3]x_b=x_c=x_d[/tex3]. Do mesmo raciocínio, vemos que A e E pertencem a outra reta perpendicular ao eixo das abcissas, logo, [tex3]x_a=x_e[/tex3]

Olhando para a reta que contém E e C, ela é uma reta perpendicular a reta das ordernadas, já que é paralela a das abcissas, isto é, são pontos que possuem a mesma ordenada [tex3]y_e=y_c[/tex3].

Note que E e D pertencem ao gráfico da função logarítmica, desta forma, suas ordenadas estarão na forma [tex3]\log_2 x_e[/tex3] e [tex3]\log_2 x_d[/tex3].

Eu usei as duas fórmulas das áreas, do triângulo e do trapézio. Perceba que:

[tex3]S_{trap\acute{e}zio}=\frac{(AE+BD)\cdot EC}{2}[/tex3]

[tex3]S_{tri\hat{a}ngulo}=\frac{EC\cdot CD}{2}[/tex3]

Depois, usei a informação dele [tex3](0,2)\cdot S_{trapézio}=S_{triângulo}[/tex3]


Abraço.

[Cientista]

Já percebi o raciocinio, agora o que quero perceber é que porque voce considera como AE=[tex3]log_{2}k+log_{2}4[/tex3] e BD=[tex3]4-k[/tex3]? Nao estou percebendo porque numa parte soma outra subtrai...

[jrneliodias]

Beleza.

Sabemos que os segmentos AE e BD são perpendiculares ao eixo [tex3]x[/tex3] e EC é paralelo, certo?

Diante disso, podemos afirmar que:

[tex3]AE\,\,=\,\,y_e-y_a\,\,=\,\,\log_2\,k-0\,\,=\,\,\log_2 k[/tex3]

[tex3]BD\,\,=\,\,y_D-y_a\,\,=\,\,\log_2\,4-0\,\,=\,\,\log_2 4[/tex3]

[tex3]EC\,\,=\,\,x_c-x_e\,\,=\,\,4-k[/tex3]

[tex3]CD\,\,=\,\,y_d-y_c\,\,=\,\,\log_2\,4-\log_2 k[/tex3]

Então o que você está vendo como [tex3]AE[/tex3] na verdade é [tex3]AE + BD[/tex3]

[Cientista]

Agora entendi obrigado!