IME / ITA ⇒ (Elementos da Matemática) Geometria Plana Tópico resolvido

[jrneliodias]

Na figura, determine o raio da circunferência menor em função do raio [tex3]R[/tex3] do quadrante.

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Gabarito:

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[tex3]\frac{5-2\sqrt{2}}{17}\,\,R[/tex3]

Obrigado pela atenção.

[theblackmamba]

Olá jrneliodias,

Traçando as retas complementares temos que [tex3]\overline{DE}[/tex3] é a hipotenusa de um triângulo retângulo.

circ.png (14.65 KiB) Exibido 679 vezes

O triângulo [tex3]\triangle AOP[/tex3] é isósceles e retângulo então [tex3]\overline{AP}=\frac{R\sqrt{2}}{2}[/tex3]. Logo, a medida de [tex3]\overline{PD}=\overline{AP}[/tex3], pois o triângulo [tex3]\triangle APD[/tex3] é retângulo em [tex3]P[/tex3].

Atente-se ao triângulo [tex3]\triangle AOB[/tex3] em vermelho e chamando de [tex3]r[/tex3] o raio desejado:

[tex3]\overline{AB}=R-r[/tex3]
[tex3]\overline{OB}=\frac{R}{2}+r[/tex3]
[tex3]\overline{AO}=\frac{R}{2}[/tex3]

Aplicando o teorema dos cossenos:

[tex3](\overline{OB})^2=(\overline{AB})^2+(\overline{AO})^2-2\cdot (\overline{AB})\cdot (\overline{AO})\cdot \cos 45^{\circ}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{R}{2}+r\right)^2=(R-r)^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2-2\cdot \frac{R}{2}\cdot (R-r)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]\cancel{\frac{R^2}{4}}+Rr+\cancel{r^2}=R^2-2Rr+\cancel{r^2}+\cancel{\frac{R^2}{4}}-\frac{R^2\sqrt{2}}{2}+\frac{Rr\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]3Rr=R^2+\frac{Rr\sqrt{2}}{2}-\frac{R^2\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]6r=2R+r\sqrt{2}-R\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]r=R\cdot \left(\frac{2-\sqrt{2}}{6-\sqrt{2}}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{r=R\cdot \left(\frac{5-2\sqrt{2}}{17}\right)}}[/tex3]

OBS.: Tente provar que o ponto B (centro do círculo menor) pertence à reta que passa pelos pontos A e B, pois não consegui provar isso, apesar de ser verdade.

Abraço.

[jrneliodias]

Olá, Theblackmamba.

Não passa. Foi um golpe de sorte. Tente fazer sem considerar [tex3]\angle\, APO[/tex3] não é reto. Achei a resposta do gabarito, mas também mostra que [tex3]P[/tex3] não é ponto médio do arco.

Abraço.

[theblackmamba]

Acho que o ponto P é o ponto médio sim! Veja que o triângulo ADE é retângulo isósceles e considerando o ponto A como a origem, a reta CE passa por pontos de coordenadas iguais, que é o caso de [tex3]P=\left(\frac{R}{2},\frac{R}{2}\right)[/tex3], como está na figura. De onde tirarmos que os triângulos CEP e ODP são iguais e [tex3]EP=PD[/tex3]. O triângulo APD é reto em P pois é um triângulo com hipotenusa como diâmetro. O grande problema é provar que B passa pela reta AP, apesar de ser verdade pois a conta realmente bateu com o gabarito.


Abraço.