Pré-Vestibular ⇒ (CEDERJ 2012.1) Função Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Considere a função [tex3]f(x)\,=\,\ln\,\(\frac{x-2}{4-x}\)[/tex3].

Determine:

a) o domínio de [tex3]f[/tex3];
b) os valores de [tex3]x[/tex3] para os quais [tex3]f(x)\,=\,0[/tex3].

[roberto]

O logaritmando tem que ser positivo! Logo: [tex3]\frac{x-2}{4-x}\>0[/tex3]
[tex3]x<2[/tex3] ou [tex3]x>4[/tex3]
b) A função é nula para [tex3]\frac{x-2}{4-x}=1[/tex3]
[tex3]{x-2}={4-x}[/tex3]
x=3

[jrneliodias]

Olá, Alan.

A determinação de um domínio se dá pela pela interseção entre o domínio máximo de uma função, no caso, o conjunto dos números Reais pelo conjunto que contenha as restrições que são impostas na lei funcional. Em suma:

[tex3]D_f\,=\,\mathbb{R}\,\cap\,\{r\}[/tex3]

Onde [tex3]r[/tex3] são restrições presente na lei da função. Porém, podemos simplificar a definição, pois sabemos que sendo o máximo de um conjunto presente na interseção, afirmamos que seu resultado será o conjunto menor. Em conjuntos, o conjunto máximo(Universo) é um elemento neutro na interseção. Logo:

[tex3]\mathbb{R}\,\cap\,\{r\}=\{r\}[/tex3]

Portanto, basta encontrarmos as restrições da lei da função para encontramos o domínio. Como na lei da função é um logaritmo. Ele apresentará como condição de existência que sua base seja positiva e não unitária e que seu logaritmando seja também positivo. Como a primeira condição está satisfeita, a base é o número de Euler, então basta impor a segunda condição:

[tex3]\ln\left(\frac{x-2}{4-x}\right)\,\in\,\mathbb{R}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\frac{x-2}{4-x}>0[/tex3]

Resolvendo a inequação, teremos:

[tex3]\frac{x-2}{4-x}>0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,2<x<4[/tex3]

Logo, [tex3]r=2<x<4[/tex3]

Devido a isto:

[tex3]D_f=\{x\,\in\,\mathbb{R}\,|\,2<x<4\,\}[/tex3]


b) Para [tex3]f(x)=0\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\ln\left(\frac{x-2}{4-x}\right)=0[/tex3]

Uma das consequências da definição de logaritmos nos afirmar que a condição necessária e suficiente para ele ser nulo é que seu logaritmando seja unitário. Então:

[tex3]\ln\left(\frac{x-2}{4-x}\right)=0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\frac{x-2}{4-x}=1\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,x-2=4-x\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,x=6[/tex3]

Concluímos que:

[tex3]f(x)=0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,x=3[/tex3]

Se possuir dúvidas em relação a determinação de domínio, dê uma olhada aqui:

Função - Domínio
(UFF) Funções
Função Logaritma
(Unifor - CE) Logaritmo

Espero ter ajudado, abraço.