IME / ITA ⇒ (EsSA-2006) Equação do 2 grau. Tópico resolvido

[BrunoCFS]

Seja [tex3]x^{2}+(q-3)x-q-2=0[/tex3]. O valor de "q" que torna mínima a soma dos quadrados das raízes.
a) 4
b) -2
c) -4
d) 2
e) 0

Alguém poderia me ajudar com essa questão ?
Eu não entendi porque ele falo mínima, ai eu pensei logo em resolver por soma assim.
[tex3](a+b)^{2}=(-q+3)^{2}[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^{2}+2ab=q^{2}-6q+9[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^{2}+2.(-q-2)=q^{2}-6q+9[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^{2}-2q-4=q^{2}-6q+9[/tex3]
[tex3]a^{2}+b^{2}=q^{2}-4q+13[/tex3]
Deu isso, não consigo ter outro pensamento para resolve-la. Alguém poderia me ajudar.
Agradeço desde já pela atenção.

Abraço !

[Juniorhw]

Você está indo certo, basta calcular o Xv, -b/2a. Abraço.

[BrunoCFS]

Caramba... nem pensei por essa parte, verdade. Quando ele fala mínima, ele está querendo se referir a concavidade da parábola que está voltada para cima, logo a mesma vai ter um ponto mínimo.
[tex3]X_{V}=\frac{4}{2}[/tex3]
[tex3]X_{V}=2[/tex3]
Alternativa d) 2.
Mas, Junior caso tivesse uma opção que tivesse o "y" do vértice, poderia ser essa a opção a correta ?

[Juniorhw]

Não, pois aí seria o valor da soma mínima, e não o valor do q, entende? A equação [tex3]a^2+b^2=q^2-4q+13[/tex3] poderia ser escrita como [tex3]y=x^2-4x+13[/tex3]. Veja que o Yv é 9, ou seja, este é o valor mínimo da soma, e não o valor do x (ou q), que pede no enunciado. Observe:

[tex3]9=x^2-4x+13\\
x=2[/tex3]

[BrunoCFS]

Acho que entendi, você quer dizer assim.
Soma mínima dos quadrados das raízes, se fosse com o Xv.
[tex3]a^{2}+b^{2}=2[/tex3]
Soma mínima dos quadrados das raízes, se fosse com o Yv.
[tex3]a^{2}+b^{2}=9[/tex3]

E que nesse caso, a primeira opção é mais conveniente pelo que foi pedido no enunciado.
é isso ?

[Juniorhw]

Não, veja a equação: [tex3]a^2+b^2=q^2-4q+13[/tex3]. Aqui [tex3]a^2+b^2[/tex3] assume o valor de y: [tex3]y=q^2-4q+13[/tex3]. Observe que o Yv, que é a soma mínima do quadrado das raízes, é 9, pois [tex3]Yv=-\frac{\Delta}{4a}[/tex3]. Para y ser 9, deveremos ter um q que vale 2, basta substituir:

[tex3]9=q^2-4q+13\\q=2[/tex3]

Ou seja, 2 é o valor de q que torna y mínima. O vértice da parábola [tex3]y=q^2-4q+13[/tex3] é o ponto de coordenadas (2,9), onde nos interessa o valor de q, que é 2.

espero ter sido claro, abraço

[BrunoCFS]

Agora entendi perfeitamente sua explicação. Obrigado amigo.

Abraço !