Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest - 1993) Função Logarítmica Tópico resolvido

[Kaio]

Considere as equações:

[tex3]I.\,\,\log\,(x + y) = \log\, x +\, \log y[/tex3]

[tex3]II.\,\, x + y = xy[/tex3]

a) As equações [tex3]I[/tex3] e [tex3]II[/tex3] têm as mesmas soluções? Justifique.
b) Esboce o gráfico da curva formada pelas soluções de [tex3]I[/tex3].

[poti]

a) Não, pois as funções logarítmicas possuem condições de existência.

[tex3]log(x+y) = log(xy)[/tex3]

[tex3]log(x+y) \rightarrow x+y > 0[/tex3]
[tex3]log(xy) \rightarrow xy > 0[/tex3]

Na segunda equação, não existe essa restrição.

b) [tex3]\begin{cases}
x+y = xy \\
x+y > 0 \\
xy > 0
\end{cases}[/tex3]

A terceira equação mostra, claramente, que ambos valores precisam ser positivos.

Isolando a primeira equação:

[tex3]y - xy = -x[/tex3]
[tex3]y(1-x) = -x[/tex3]
[tex3]y = \frac{-x}{1-x}[/tex3]

[tex3]\boxed{y = \frac{x}{x-1}}[/tex3]

Para [tex3]xy > 0[/tex3], temos [tex3]x > 1[/tex3].

Essa equação representa uma hipérbole, mas a parte negativa deve ser ignorada pela condição de existência. Abaixo, plotei e pontilhei a parte que é excluída.

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[thetruthFMA]

na letra b, como saberia que o gráfico é uma hipérbole?

[anastacialina]

@thetruthFMA, eis o meu questionamento. Como saber? Essa é a cara de uma hipérbole? É que não estou nessa parte ainda.