Ensino Superior ⇒ Reta Perpendicular Tópico resolvido

[temujin]

Verdadeiro ou falso:


A soma das coordenadas do ponto na curva [tex3]y=x^2[/tex3] , cuja reta perpendicular a ela passa por [tex3](14\,,\,1)[/tex3] é [tex3]6[/tex3].

[temujin]

Galera, estou dando um up nesta questão pra ver se de repente alguém consegue achar uma luz no fim do túnel...

( V ) A soma das coordenadas na curva [tex3]y=x^2[/tex3], cuja reta perpendicular a ela passa por (14,1) é 6.

Eu comecei a esboçar uma resposta, achei uma solução no gráfico, mas não estou convencido se está certo. Vejamos:

Se a reta é perpendicular à curva, ela deve ser também perpendicular à reta tangente à curva no ponto em que elas se interceptam.

Como a derivada de [tex3]x^2 = 2x[/tex3] é uma função linear de x, elas se interceptam x=0 ou x=2. Com x=2, f(x)=4 e o ponto (2,4) responde à questão. Mas não consigo provar que neste ponto a reta é perpendicular à curva.

Alguma idéia??

[temujin]

Acho que eu finalmente consegui! Vou deixar aqui, caso interesse a mais alguém.

A reta que passa por (14,1) intercepta a parábola em dois pontos. Supondo que o item seja verdadeiro, deve valer:

[tex3]x+x^2=6 \Rightarrow x^2+x-6=0[/tex3]

Cujas raízes são 2 e -3.

Testando primeiro [tex3]x=2 \Rightarrow y=4[/tex3]. Um vetor diretor da reta que passa por (2,4) e (14,1) é [tex3]\vec{u}=(-12,3)[/tex3].

Agora, se a reta é perpendicular à curva, ela deve ser perpendicular à tangente neste ponto. Derivando:

[tex3]y'(x)=2x[/tex3]
[tex3]y'(2) = 4[/tex3], e portanto, a reta tangente tem a forma [tex3]y=4x+b[/tex3]. Substituindo o ponto (2,4) temos que [tex3]4=4.2+b \Rightarrow b=-4 \Rightarrow y=4x-4[/tex3]

Portanto, a reta tangente tem um vetor diretor [tex3]\vec{v} = (1,4)[/tex3]

E [tex3]<\vec{u};\vec{v}> = (-12,3).(1,4)=0[/tex3]

Portanto, as retas são perpendiculares.

[cajuADMIN]

Olá temujin,

Digamos que o ponto em que se pede a soma das coordenadas seja o ponto [tex3](k,\,k^2)[/tex3].

O coeficiente angular da reta tangente à curva [tex3]y=x^2[/tex3] é [tex3]2x[/tex3]. Portanto, o coeficiente angular da reta perpendicular à esta reta tangente é o inverso e oposto, ou seja, [tex3]-\frac{1}{2x}[/tex3].
Sendo assim, o coeficiente angular [tex3]a[/tex3] da reta que passa por [tex3](k,\,k^2)[/tex3] e é perpendicular à curva [tex3]y=x^2[/tex3] será [tex3]a=-\frac{1}{2k}[/tex3].

Ou seja, podemos reformular a questão como sendo: Qual o valor de [tex3]k[/tex3] para que a reta que passa pelos pontos [tex3](k,\,k^2)[/tex3] e [tex3](14,\,1)[/tex3] tenha coeficiente angular igual a [tex3]a=-\frac{1}{2k}[/tex3]?

Calculando o coeficiente angular pelos pontos dados e igulando ao valor [tex3]a=-\frac{1}{2k}[/tex3], teremos:

[tex3]\frac{1-k^2}{14-k}=-\frac{1}{2k}[/tex3]

[tex3]2k^3-k-14=0[/tex3]

Resolvendo esta equação do terceiro grau, encontramos como única raiz real [tex3]k=2[/tex3]. Portanto, as coordenadas do ponto pedido são [tex3](2,\, 4)[/tex3].

Grande abraço,
Prof. Caju