Ensino Médio ⇒ Função Sobrejetora Tópico resolvido

[Bacon]

Determine o conjunto B, B ⊂ ℝ, sabendo que a função f: ℝ - {1} → B tal que f(x) = x²/(x - 1) é sobrejetora.

Resposta:

Resposta

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{y ∈ ℝ | y ≤ 0 ou y ≥ 4}

Se ela é sobrejetora B = CD(f) = Im(f). Porém, não consegui encontrar o conjunto imagem.

[Auto Excluído (ID:8010)]

[tex3]f[/tex3] é sobrejetora se, e somente se, [tex3]\forall y \in B, \exists x \in \mathbb{R}-\{1\}/f(x)=y[/tex3].
[tex3]f(x)=y \Leftrightarrow \frac{x^2}{x-1}=y \Leftrightarrow x^2=yx-y \Leftrightarrow x^2-yx+y=0[/tex3]

Para isolar o x basta aplicar a fórmula quadrática:

[tex3]x=\frac{y\pm \sqrt{y^2-4y}}{2}[/tex3]

Para que o x pertença ao conjunto dos números reais [tex3]y^2-4y \geq 0[/tex3].
[tex3]y^2-4y \geq 0 \Rightarrow y \in \, ]-\infty;0]\cup[2; + \infty[[/tex3]

Caso você não conheça, a expressão [tex3]y \in \, ]-\infty;0]\cup[2; + \infty[[/tex3] é equivalente a [tex3]\{y \in \mathbb{R} / y \leq 0 \,\, ou \,\, y\geq2\}[/tex3].