Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1975) Geometria

[led]

Na figura o triângulo ABC é isósceles e o segmento MN é paralelo a base BC. O comprimento do segmento MN é igual a:

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a) 3/4
b) 2/3
c) 5/6
d) 3/8
e) 1/2

[roberto]

A altura do triângulo é [tex3]\sqrt{3}[/tex3] ?

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Comp 2_00000_00000.png (16.49 KiB) Exibido 5009 vezes

[tex3]AB=AC[/tex3](triângulo isósceles), [tex3]AD=\sqrt{3}[/tex3] e [tex3]BC=2 \Rightarrow BD=DC=1[/tex3].

Aplicando o Pitágoras no [tex3]\Delta ACD[/tex3] temos:
[tex3](AC)^2=(AD)^2+(DC)^2[/tex3]
[tex3](AC)^2=(\sqrt{3})^2+(1)^2 \Rightarrow AC=2[/tex3]. Portanto o [tex3]\Delta ABC[/tex3] é equilátero e isso implica que o ponto [tex3]O[/tex3] é o incentro e o baricentro do triângulo.

Usando as propriedades do baricentro temos que [tex3]OD=\frac{AD}{3}=EO=R[/tex3](raio da circunferência).
[tex3]AE=AD-2R=\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3} \therefore AE=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

[tex3]\Delta AEN[/tex3] é semelhante ao [tex3]ACD[/tex3], portanto
[tex3]\frac{AE}{EN}=\frac{AD}{DC} \Leftrightarrow \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{EN}=\frac{\sqrt{3}}{1} \Rightarrow EN=\frac{1}{3}[/tex3].

[tex3]ME=EN[/tex3]
[tex3]\therefore MN=2EN=\frac{2}{3}[/tex3]

[led]

Teria como achar a medida AE de outra maneira.E como você achou o R