Demonstrações ⇒ Demonstração - Área de um Triângulo em Função das Medianas

[theblackmamba]

Demonstrar que a área de um triângulo qualquer [tex3]ABC[/tex3] em função de suas medianas [tex3]m_a,m_b,m_c[/tex3] que partem dos respectivos vértices [tex3]A,B,C[/tex3] é dada por:

[tex3]S_{ABC}=\frac{4}{3}\sqrt{s(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}[/tex3]

Onde [tex3]s=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}[/tex3].

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Traçando os segmentos de mesma medida e paralelos as medianas: [tex3]FH//BE=m_b;\,\,\,CH//AD=m_a;\,\,\,CF//CF=m_c,[/tex3] formamos o triângulo [tex3]CFH[/tex3].

triangulo.png (14.82 KiB) Exibido 2836 vezes

Como [tex3]F[/tex3] é ponto médio de [tex3]AB[/tex3] então o ponto [tex3]E[/tex3] é ponto médio de [tex3]AC[/tex3] ([tex3]F[/tex3] e [tex3]E[/tex3] são colineares por pertencerem a diagonal do paralelogramo [tex3]BEFH[/tex3]).

O ponto [tex3]I[/tex3] é a intersecção das diagonais do paralelogramo [tex3]AEFH[/tex3] e portanto também é ponto médio de [tex3]AE[/tex3] e [tex3]FH[/tex3].

Sabendo que se triângulos possuem a mesma altura a proporção de suas bases determina a proporção de suas áreas temos que:

[tex3]S_{ACF}=\frac{1}{2}S_{ABC}[/tex3]
[tex3]S_{AFI}=\frac{1}{4}S_{ACF}\,\,\therefore\,\,S_{AFI}=\frac{1}{8}S_{ABC}[/tex3]

[tex3]S_{CFI}=\frac{1}{2}S_{CFH}[/tex3]

Logo temos:
[tex3]S_{AFI}+S_{CFI}=\frac{1}{2}S_{ABC}[/tex3]
[tex3]S_{CFI}=\frac{1}{2}S_{ABC}-\frac{1}{8}S_{ABC}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2}S_{CFH}=\frac{3}{8}S_{ABC}[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{ABC}=\frac{4}{3}S_{CFH}}[/tex3]

Pela relação de Heron a área de um triângulo de lados [tex3]a,\,b,\,c[/tex3] e semiperímetro [tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3] é dada por: [tex3]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3].

No triângulo [tex3]CFH[/tex3]:

[tex3]S_{CFH}=\sqrt{s(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}[/tex3], onde [tex3]s=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}[/tex3]

Portanto, a área de um triângulo [tex3]ABC[/tex3] em função de suas medianas [tex3]m_a,m_b,m_c[/tex3] vale:

[tex3]\boxed{S_{ABC}=\frac{4}{3}\sqrt{s(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}}[/tex3]

Abraço.