Pré-Vestibular ⇒ (UFMS-2007) Trigonometria. Tópico resolvido

[BrunoCFS]

Dada a equação: [tex3]2^{(2+\cos \, x)}+2^{(1-\cos \, x)}=6[/tex3], É correto afirmar que a equação dada.
a) não tem solução real.
b) tem solução única.
c) tem apenas duas soluções distintas.
d) tem exatamente três soluções distintas.
e) tem, no intervalo dado, quatro soluções distintas.

Resposta

---

letra d

Eu resolvi essa questão, quase toda mas não entendi o final dela.
[tex3]2^{\cos \, x}=y[/tex3]
Fazendo todo procedimento..
[tex3]2y^{2}-3y+1=0[/tex3]
Encontrando as raízes.
[tex3]y=1[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]2^{\cos \, x}=1[/tex3]
[tex3]2^{\cos \, x}=2^{0}[/tex3]
[tex3]\cos \, x=0[/tex3]

[tex3]2^{\cos \, x}=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]2^{\cos \, x}=2^{-1}[/tex3]
[tex3]\cos \, x=-1[/tex3]

Agora, estou me confundindo para ver quantas soluções tem, naquele intervalo que ele deu.. pois, na minha opinião eu marcaria a letra c, contudo o gabarito é a letra d.

Obrigado pela atenção.

Abraço !

[Juniorhw]

Qual é o intervalo? Se for [tex3]0\leq x<2\pi[/tex3],

[tex3]cosx=0\to x=\frac{\pi}{2}\,\,ou\,\,x=\frac{3\pi}{2}\\\\cosx=-1\to x=\pi[/tex3].

Portanto as raízes são: [tex3]\frac{\pi}{2},\,\,\frac{3\pi}{2}\,\,e\,\,\pi[/tex3].

abraços.

[BrunoCFS]

Carammmbbaaa, que mancada minha, logo na parte da minha dúvida deixei de copiar..
o intervalo era esse..
[tex3]\left [ 0;\frac{3\pi }{2} \right ][/tex3]

[Juniorhw]

Então, as raízes continuam sendo três: [tex3]\frac{\pi}{2},\,\,\frac{3\pi}{2}\,\,e\,\,\pi[/tex3]. Se o intervalo fosse [tex3]0\leq x \leq \pi[/tex3] só entrariam [tex3]\frac{\pi}{2},\,\,e\,\,\pi[/tex3].

abraços.

[BrunoCFS]

Obrigado.