IME / ITA ⇒ Problema 3 da I Maratona de Matemática

[Radius]

Link da questão. Problema 3

[tex3]x^3 + mx^2 + n = 0[/tex3]

Chamando as raízes de [tex3]r_1,r_2,r_3[/tex3], onde as duas primeiras são as complexas conjudas da forma [tex3]a\pm bi[/tex3] e com módulo [tex3]\beta[/tex3], temos das relações de Girard que:

[tex3]\begin{cases}
r_1+r_2+r_3=-m \\
r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=0 \\
r_1r_2r_3=-n
\end{cases}[/tex3]

Com os termos conhecidos, podemos simplificar:

[tex3]\begin{cases}
2a+r_3=-m \\
\beta^2+2ar_3=0 \\
\beta^2r_3=-n
\end{cases}[/tex3]

Isolando [tex3]r_3[/tex3] na terceira linha e substituindo na primeira e segunda linhas vamos ter

[tex3]\begin{cases}
2a\beta^2-n=-m\beta^2 \\
\beta^ 4-2an=0
\end{cases}[/tex3]

Isolando [tex3]a[/tex3] na segunda linha e substituindo na primeira:

[tex3]\frac{\beta^6}{n}-n=-m\beta^2 \\\\\\ \frac{\beta^6-n^2}{n}=-m\beta^2 \\\\\\ \boxed{m=\frac{n^2-\beta^6}{n\beta^2}}[/tex3]. Letra D