IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2003) Relação entre MMC e MDC Tópico resolvido

[alinebotelho]

Se [tex3]\text{mmc}(x,y)=2^2\times 3^3\times 5^2\times 7[/tex3] e [tex3]\text{mdc}(x,y)=2^3\times 3^2\times 5,[/tex3] [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] números naturais, quantos são os valores possíveis para [tex3]x[/tex3]?

a) [tex3]16[/tex3]
b) [tex3]8[/tex3]
c) [tex3]6[/tex3]
d) [tex3]4[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Fazendo uma breve análise, é fácil ver que há algo errado no enunciado.

Pelas definições de mmc e mdc, os expoentes dos fatores do mmc são maiores ou iguais do que os respectivos fatores do mdc. Tomando o fator [tex3]2^2[/tex3] e o fator [tex3]2^3[/tex3], temos que [tex3]2<3[/tex3].

[Bruno Fraga]

Aline,

Quando vc fatora dois números, a regra prática pra obter o [tex3]\text{mmc}[/tex3] e o [tex3]\text{mdc}[/tex3] é a seguinte:

- Para o [tex3]\text{mdc}:[/tex3] tome os fatores comuns, escolhendo pra eles o menor expoente;
- Para o [tex3]\text{mmc}:[/tex3] tome todos os fatores, escolhendo pra eles o maior expoente.

Exemplo: Para calcular o [tex3]\text{mdc}[/tex3] e o [tex3]\text{mmc}[/tex3] entre [tex3]120[/tex3] e [tex3]1050,[/tex3] iniciamos pela fatoração dos números:

• [tex3]120 = 2^{3}.3^{1}.5^{1}[/tex3]
  [tex3]1050 = 2^{1}.3^{1}.5^{2}.7^{1}[/tex3]

No [tex3]\text{mdc}[/tex3] tomamos apenas os fatores primos que apareceram nos dois números [tex3](2, 3[/tex3] e [tex3]5)[/tex3] e para cada um deles colocamos o menor expoente entre os dois:

• [tex3]\text{mdc}(x,y) = 2^1 . 3^1 . 5^1[/tex3]

Depois para [tex3]\text{mmc}(120,1050)[/tex3] pegamos todos os fatores (inclusive o [tex3]7[/tex3]) e colocamos o maior expoente de cada um:

• [tex3]\text{mmc}(x,y) = 2^3 . 3^1 . 5^2 . 7^1[/tex3]

Isso já aponta um erro no enunciado. Não tem jeito do expoente do [tex3]2[/tex3] ser maior no [tex3]\text{mdc}[/tex3] do que no [tex3]\text{mmc}[/tex3] de dois números.

Mesmo assim, vamos continuar:
Como são apenas dois números e [tex3]\text{mmc}(x,y) = 2^{2}.3^{3}.5^{2}.7[/tex3] e [tex3]\text{mdc}(x,y) = 2^3 . 3^2 . 5,[/tex3] então raciocionamos assim:
Na expressão [tex3]x = 2^a . 3^b . 5^c . 7^d,[/tex3] o expoente [tex3]a[/tex3] só pode ser [tex3]2[/tex3] ou [tex3]3.[/tex3] Se o expoente [tex3]a[/tex3] fosse outro valor, ele apareceria ou no [tex3]\text{mdc}[/tex3] (se fosse menor que [tex3]2[/tex3]) ou no [tex3]\text{mmc}[/tex3] (se fosse maior que [tex3]3[/tex3]). Analogamente [tex3]b[/tex3] só pode ser [tex3]2[/tex3] ou [tex3]3,[/tex3] [tex3]c[/tex3] só pode ser [tex3]1[/tex3] ou [tex3]2[/tex3] e [tex3]d[/tex3] só pode ser [tex3]0[/tex3] ou [tex3]1.[/tex3] Pela análise combinatória o número de opções pra definir os expoentes dos fatores de [tex3]x[/tex3] é [tex3]2.2.2.2 = 16[/tex3]

Qq duvida é só avisar...

[paulo testoniMOD]

Hola.

Se [tex3]\text{mmc} ( x, y ) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2\cdot 7 = 37800[/tex3] e [tex3]\text{mdc} (x, y ) = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 360[/tex3]

Teorema: O [tex3]\text{mmc}[/tex3] de dois números é o quociente da divisão de seu produto pelo seu [tex3]\text{mdc}.[/tex3]

Então:

• [tex3]\frac{x\cdot y}{\text{mdc}} = \text{mmc}[/tex3]
  [tex3]\frac{x\cdot y}{360} = 37800[/tex3] ou, ainda

• [tex3]\frac{x}{360}\cdot \frac{y}{360} = \frac{37800}{360} = 105[/tex3]

Como [tex3]\frac{x}{360}[/tex3] e [tex3]\frac{y}{360}[/tex3] são primos entre si haverá tantas soluções para o problema quantos são os grupos de dois números primos cujo produto é [tex3]105.[/tex3]

Como há quatro grupos nessa condição, a saber:

1.º Grupo: [tex3]1[/tex3] e [tex3]105[/tex3]

2.º Grupo: [tex3]3[/tex3] e [tex3]5[/tex3]

3.º Grupo: [tex3]5[/tex3] e [tex3]21[/tex3]

4.º Grupo: [tex3]7[/tex3] e [tex3]15[/tex3]

O problema apresenta [tex3]4[/tex3] soluções a saber:

1.ª solução:

• [tex3]\frac{x}{360} = 1 \Longrightarrow x = 360[/tex3]
  [tex3]\frac{y}{360} = 105 \Longrightarrow y = 37800[/tex3]

2.ª solução:

• [tex3]\frac{x}{360} = 3 \Longrightarrow x = 1080[/tex3]
  [tex3]\frac{y}{360} = 35 \Longrightarrow y = 12600[/tex3]

3.ª solução:

• [tex3]\frac{x}{360} = 5 \Longrightarrow x = 1800[/tex3]
  [tex3]\frac{y}{360} = 21 \Longrightarrow y = 7560[/tex3]

4.ª solução:

• [tex3]\frac{x}{360} = 7 \Longrightarrow x = 2520[/tex3]
  [tex3]\frac{y}{360} = 15 \Longrightarrow y = 5400[/tex3]

Nessas quatro soluções o [tex3]x[/tex3] pode trocar de lugar com o [tex3]y,[/tex3] assumindo assim [tex3]8[/tex3] possíveis valores.

[paulo testoniMOD]

Hola.

Como não consigo editar tenho que criar nova mensagem.

Corrigindo

2.º Grupo: [tex3]3[/tex3] e [tex3]5,[/tex3] para [tex3]3[/tex3] e [tex3]35[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Olá Paulo,

Consegui um outro arquivo com a prova de 2003. A Aline digitou o problema com um erro no expoente do fator [tex3]2[/tex3] no [tex3]\text{mmc}[/tex3] (que você apontou).

Por enquanto, a edição das mensagens é possível até 24 horas do envio da mensagem. Após esse período, ou você faz a correção numa nova mensagem ou pede para que um moderador faça a correção.

[augustoxd]

Bom, nao entendi a aplicaçao do teorema, pois se multiplicasse cruzado daria [tex3]x.y=13608000 ,[/tex3] porque deu [tex3]105?[/tex3]