IME / ITA ⇒ (ESPCEX - 2012) Polinômio Tópico resolvido

[BrunoCFS]

A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação [tex3]x^{3}-8=0[/tex3] tem área igual a

a) [tex3]7\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]6\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]5\sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]4\sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]

Eu consegui encontra as raízes complexas e marquei no gráfico, e calculei o valor do lado do mesmo. Mas como eu saberia de que tipo de triângulo se trata, um retângulo, equilátero, isósceles e etc.. ? Eu fiz pela fórmula do equilátero e deu certo, mas não entendi como é um equilátero e não outro triângulo.

Agradeço pela atenção.

Abraço !

[theblackmamba]

Olá Bruno,

[tex3]z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot \left[\cos \left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \text{sen}\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right][/tex3]

Propriedade importante:

Qualquer número complexo [tex3]z[/tex3] admite [tex3]n[/tex3] raízes distintas, todas de módulo igual a [tex3]\sqrt[n]{|z|}[/tex3] e seus argumentos formam uma progressão aritmética de razão [tex3]\frac{2\pi}{n}[/tex3] e primeiro termo [tex3]\frac{\theta}{n}[/tex3]. Passando para o plano geométrico, as raízes são vértices de um polígono regular de [tex3]n[/tex3] lados.

Queremos as raízes cúbicas de [tex3]z=8=\cos 0+i\text{sen}\, 0[/tex3]. Se são três raízes formaremos um triângulo regular (equilátero).

[BrunoCFS]

Obrigado Theblackmamba..

[ALDRINMOD]

BrunoCFS,

por favor, antes de postar verifique se a questão já não existe no Fórum, ou seja, faça uma busca, pois essa questão já foi postada anteriormente.