Pré-Vestibular ⇒ (UFOP - 2009) Geometria Espacial

[lugealles]

Um cubo é seccionado por um plano que passa por uma das diagonais de sua base inferior e por um único vértice de sua base superior. Sabendo que o valor da área da região determinada pela intersecção entre o cubo e o plano é igual a [tex3]\sqrt{6}/4\,\,cm^{2}[/tex3] calcule o comprimento de uma das diagonais do cubo.

[Willm17]

Gostaria da resolução desta questão tbm!!

Obg!

[jrneliodias]

Olá, Pessoal.

Desenhando a figura, teremos:

as.png (20.67 KiB) Exibido 2228 vezes

Note que o triângulo [tex3]\triangle FHC[/tex3] é equilátero, pois seus lados são diagonais das faces. Seja [tex3]m[/tex3] e [tex3]t[/tex3], a medida do lado do quadrado e do triângulo, respectivamente, sabemos que a área do triângulo equilátero é dado por:

[tex3]S=\frac{t^2\sqrt{3}}{4}\,\,cm^2[/tex3]

Sabemos que [tex3]t=m\sqrt{2}[/tex3] e sua área é dada:

[tex3]\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{(m\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,m=\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}}\,\,cm[/tex3]

Obtido seu lado, sabemos que a diagonal [tex3]d[/tex3] de um cubo, aresta que liga dois vértices que não pertencem a um mesmo plano, é dado por:

[tex3]d=m\sqrt{3}\,\,cm\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\boxed{d=\frac{\sqrt[4]{2}\,\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\,\,cm}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.