IME / ITA ⇒ (EsPcex-2013) Inequação modular. Tópico resolvido

[BrunoCFS]

Se [tex3]Y=\left \{ y\, \in \, \mathbb{R}\, \bigg|\,\, |6y-1|\geq 5y-10 \right \}[/tex3] , então.

a) [tex3]Y=\left]-\infty;\,\frac{1}{6}\right][/tex3]
b) [tex3]Y=\left \{ -1 \right \}[/tex3]
c) [tex3]Y=\mathbb{R}[/tex3]
d) [tex3]Y=\oslash[/tex3]
e) [tex3]Y=\left]\frac{1}{6};\,+\infty \right[[/tex3]

Agradeço pela atenção.

[jrneliodias]

Olá, Bruno.

Apliquemos a definição de inequação modular:

[tex3]|\,x\,|\geq a\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,x\leq -a\,\,\,\,ou\,\,\,\,\,x\geq a[/tex3]

Logo:

[tex3]|6y-1|\geq 5y-10\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,6y-1\leq -5y+10\,\,\,\,ou\,\,\,\,6y-1\geq 5y-10[/tex3]

Simplificando:

[tex3]y\leq 1\,\,\,\,ou\,\,\,\,y\geq -9[/tex3]

Deste modo:

[tex3]Y=\{\,y\,\in\,\mathbb{R}\,|\,-9\leq y\,\leq 1\,\}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[BrunoCFS]

Caramba, por isso que a minha resolução nunca dava certo .. perdi bastante tempo nessa questão.
Obrigado Jrneliodias.

Abraço !

[Radius]

jr, não é assim tão direto de resolver inequações modulares.
Reveja as condições de módulo para este caso.
Veja por exemplo que y=2 também é solução.
A resposta dará letra C.

[jrneliodias]

É verdade.

Aplicando a definição de módulo:

[tex3]|6y-1|=\begin{cases}6y-1\,,\,\,\,\,se\,\,\,y\geq \frac{1}{6} \\ 1-6y\,,\,\,\,\,se\,\,\,y< \frac{1}{6}
\end{cases}[/tex3]

Se [tex3]y\geq \frac{1}{6}[/tex3] então:

[tex3]6y-1\geq 5y-10\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,y\geq -9[/tex3]

Com a condição acima, temos:

[tex3]y\geq \frac{1}{6}[/tex3]

Se [tex3]y< \frac{1}{6}[/tex3] então:

[tex3]1-6y\geq 5y-10\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,y\leq 1[/tex3]

Deste modo, temos:

[tex3]y\leq \frac{1}{6}[/tex3]

Fazendo a união dos dois conjuntos teremos os [tex3]\mathbb{R}[/tex3].

Falta de atenção minha, abraço.