Ensino Médio ⇒ Equação Diofantina Tópico resolvido

[Birnebaum]

Se [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são números naturais, e [tex3]19x+97y=1997[/tex3], então o menor valor possivel de [tex3]x+y[/tex3] é:

[tex3]a)\,\,21[/tex3]
[tex3]b)\,\,23[/tex3]
[tex3]c)\,\,38[/tex3]
[tex3]d)\,\,41[/tex3]
[tex3]e)\,\,47[/tex3]

Gabarito:

---

Letra B

Bb

[theblackmamba]

Analisando uma possível solução: [tex3](x_0,y_0)=(3,20)[/tex3].

[tex3]ax+by=c[/tex3]

[tex3]x=x_0+\frac{b}{mdc(a,b)}\cdot k[/tex3], onde [tex3]k[/tex3] é uma constante inteira.
[tex3]y=y_0-\frac{a}{mdc(a,b)}\cdot k[/tex3]

No caso,
[tex3]mdc(a,b)=mdc(19,97)=1[/tex3]

Logo,
[tex3]x=3+97k[/tex3]
[tex3]y=20-19k[/tex3]

[tex3]x+y=23+78k[/tex3]

Onde o menor valor é obtido para [tex3]k=0[/tex3] já que [tex3]x,y\in \mathbb{N}[/tex3].

[tex3]\boxed{x+y=23}[/tex3]. Letra B

[Birnebaum]

Maravilha theblackmamba. Obrigado.

Bb

[theblackmamba]

Percebi que escolhi logo o par que dá a menor soma. Mas podemos escolher outros que darão a mesma resposta. Usando o par [tex3](x_0,y_0)=(100,1)[/tex3].

Logo temos:
[tex3]x=100+97k[/tex3]
[tex3]y=1-19k[/tex3]

[tex3]x+y=101+78k,\,\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]

Sendo [tex3]x+y>0[/tex3]:

[tex3]101+78k>0[/tex3]
[tex3]k>-1,29\,\,\therefore\,\,k=-1[/tex3]

[tex3]x+y=101-78=23[/tex3]

Abraços.

[Birnebaum]

Ué! , bem pensado. Obrigado.

Bb