IME/ITA ⇒ (ITA - 1969) Óptica Tópico resolvido

[Juniorsjc]

Uma fonte luminosa puntiforme está a uma profundidade [tex3]h[/tex3] abaixo da superfície de um lago suficientemente grande em extensão e profundidade. Seja [tex3]n[/tex3] o índice de refração da água. Da energia total emitida, [tex3]f[/tex3] é a fração que escapa diretamente da superfície líquida, desprezando a absorção da luz na água e a reflexão que não for total.

Nessas condições podemos afirmar que:

a) [tex3]f[/tex3] aumenta se [tex3]h[/tex3] aumentar
b) [tex3]f[/tex3] diminui se [tex3]h[/tex3] aumentar
c) [tex3]f = \frac{1}{n}[/tex3]
d) [tex3]f = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n\sqrt{n^2-1}}[/tex3]
e) [tex3]N.D.A[/tex3]

Resposta

---

D

[manerinhu]

alguém?

[DiegoVidal]

Velho, acredito que a resposta tenha um pequeno erro, a raiz de n² -1 deveria estar no numerador e não no denominador!

[DiegoVidal]

De qualquer forma a "morta" do problema é tu considerar os raios de luz formando uma esfera, porém somente uma parte deles sairá da água (aqueles que não sofrerem reflexão total)!

Então divide a área da esfera pela área da calota que dá D!

Abraço

[DiegoVidal]

Obs: Escrevi o contrário, o certo é o raio da calota pelo raio da esfera!

[Juniorsjc]

Sim, a resposta realmente tem um erro. É como você falou Diego, a raiz deve estar no numerador.
E a saída é essa que você falou mesmo!

Abraços!

[gabrielbpf]

Olá.

Eu estou curioso quanto à resolução dessa questão... Poderiam postá-la, para que o tópico não fique sem resposta?

Abraços.

[DiegoVidal]

Não sei trabalhar bem com latex ou figuras pra montar um resolução melhor, deixo pra alguém que saiba fazer isso. Mas foi oque eu falei lá em cima, o resto é matemática.

[Juniorsjc]

Olá, vamos a resolução:

Utilizaremos o conceito de ângulo sólido na solução do problema. Podemos defini-lo(Para esse caso) como sendo:
[tex3]\Omega = 2\pi(1-\cos\theta)[/tex3]

(i) Cálculo do ângulo limite:
[tex3]\sin\theta = \frac{1}{n} \rightarrow \cos\theta = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}[/tex3]

(ii)Ângulo sólido compreendido pela calota esférica por onde a energia consegue escapar:
[tex3]\Omega = 2\pi(1-\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n})[/tex3]

(iii) Portanto a fração pedida é:
[tex3]f = \frac{2\pi(1-\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n})}{4\pi}= \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{n^2-1}}{2n}[/tex3] (Gabarito zuado, xD)

Obs: Entendendo melhor a solução:

lulz.png (31.44 KiB) Exibido 8416 vezes

* Na figura: [tex3]L = \theta = \text {Angulo limite}[/tex3]
** É considerado propagação esférica da onda, por isso utilizamos ângulo sólido.
*** Por em (iii) dividimos por [tex3]4\pi[/tex3]?
O ângulo sólido que compreende toda esfera vale [tex3]4\pi[/tex3]. Logo, para obter a fração desejada temos que dividir o ângulo que compreende a parte que escapa pela superfície pelo ângulo total que compreende toda "esfera de propagação".

Espero que tenha dado uma luz ai, a imagem no paint nao ficou muito supimpa, mas tá valendo. xD
Abraços.

[PréIteano]

A prova do ITA não aborda o conceito de ângulo sólido. Sejamos mais simplistas:

A fração f será proporcional à razão entre a área da calota (parte da onda esférica que fica pra fora do lago) e a área total da esfera.
Utilizando a ilustração acima, considere que a esfera maior possui raio R.

(i) Reflexão total no ângulo limite:
[tex3]n.sen\theta=1.sen90^{o}\rightarrow sen\theta =\frac{1}{n}[/tex3]
* [tex3]cos\theta=\frac{h}{R}\rightarrow R=\frac{h}{cos\theta }[/tex3]
* [tex3]H=R-h=h\left(\frac{1-cos\theta }{cos\theta }\right)[/tex3]

(ii) Área da calota ([tex3]S_1[/tex3]):
[tex3]S_1=2\pi RH=2\pi \left(\frac{h}{cos\theta }\right).h\left(\frac{1-cos\theta }{cos\theta }\right)[/tex3]
* [tex3]cos^2\theta+sen^2\theta =1\rightarrow cos^2\theta =1-\frac{1}{n^2}[/tex3]
[tex3]\rightarrow S_1=\frac{2\pi h^2n(n-\sqrt{n^2-1})}{n^2-1}[/tex3]

(iii) Área total ([tex3]S_T[/tex3]):
[tex3]S_T=4\pi R^2=\frac{4\pi h^2n^2}{n^2-1}[/tex3]

Logo:
[tex3]\frac{S_1}{S_T}=\frac{\frac{2\pi h^2n^2(n-\sqrt{n^2-1})}{n^2-1}}{\frac{4\pi h^2n^2}{n^2-1}}=\frac{1}{2}.\left(1-\frac{\sqrt{n^2-1}}{n}\right)[/tex3]