Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais (EDO) - Equações Homogêneas Tópico resolvido

[Doug]

Galera caiu na minha prova, eu até resolvi, mas não tenho certeza se cheguei na resposta certa

Resolva fazendo a substituição [tex3]v=y/x[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
dy/dx= xy/(x^2 + y^2)\\
y(2)=1
\end{cases}[/tex3]

Muito obrigado, abraços, t+

[theblackmamba]

Tem certeza da escrita da questão ? Pois não estou conseguindo achar uma forma explícita da função. E se possível me dizer qual resultado você chegou.


Abraço

[theblackmamba]

Temos:

[tex3]y=vx[/tex3]
[tex3]\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}[/tex3]

Substituindo:

[tex3]v+x\frac{dv}{dx}=\frac{vx^2}{x^2\cdot (1+v^2)}[/tex3]
[tex3]v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v}{v^2+1}[/tex3]
[tex3]\frac{dv}{dx}=-\frac{v^3}{x\cdot (v^2+1)}[/tex3]

Dividindo ambos lados por [tex3]\frac{v^3}{v^2+1}[/tex3]:

[tex3]\frac{\frac{dv}{dx}\cdot (v^2+1)}{v^3}=-\frac{1}{x}[/tex3]

Passando a integral em relação a [tex3]x[/tex3]:

[tex3]\int \frac{(v^2+1)}{v^3}\,dv=-\int \frac{dx}{x}[/tex3]
[tex3]\int \frac{dv}{v}+\int \frac{dv}{v^3}=-\int \frac{dx}{x}[/tex3]
[tex3]\ln v-\frac{1}{2v^2}=-\ln x+C[/tex3]

Parei aqui!

Abraço.

[Doug]

Oi theblackmamba, tudo blz?!?

Então, eu acho que a questão é essa mesma, a única coisa que eu posso ter enganado é no sinal de [tex3]x^2 + y^2[/tex3] que pode ser menos no lugar de mais, não tenho certeza porque o professor não deixou a gente sair com a prova
A sua resolução ficou parecida com a minha, só que eu esqueci de somar o v na hora de achar o dv/dx, então já errei a questão
Vou confirmar certinho essa questão na hora da revisão da prova, e muito obrigado pela ajuda, abraços!