Ensino Superior ⇒ Trajetória da Curva - Sentido de Percurso Tópico resolvido

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 14 - Pág.: 761)

Esboce a trajetória da curva [tex3]c(t)=(\cos t, -\cos t, \sen t)[/tex3] e indique o sentido de percurso dessa trajetória.

Como faço isso?

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com a FONTE, ops! Esqueceu só de falar que é do STEWART, de qualquer forma

Primeiro modo ( mais direto ) :

Se x = cos t , y = - cos t , z = sen t , então x² + z² = 1 e y² + z² = 1, então a curva está contida na interseção dos cilindros circulares ao longo do eixo x e eixo y. Além disso, y = - x, então a curva é uma elipse no plano y = - x, centrada na origem.

Graficamente:

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Segundo modo ( com explicação ) :

Temos a função paramétrica :

r( t ) = cos (t).i - cos (t).j + sen (t).k

As coordenadas x , y e z da equação paramétrica são respectivamente:

{ x = cos (t) , ( I )
{ y = - cos (t) , ( I I )
{ z = sen (t) , ( I I I )

Utilizando ( I ) e ( I I ) :

x = - y

Utilizando ( I ) e ( I I I ) :

x = cos (t) , z = sen (t)

x² + z² = cos²(t) + sen²(t) = 1

Assim, temos um círculo no eixo xz cuja coordenada y vai aumentando conforme o valor de - x.

Logo, temos um círculo no problema , mas não é paralelo aos planos xy ou xz ou yz.

Para analisarmos de que forma o parâmetro t cresce, vamos observar alguns valores de t.

Para t = 0 :

x = cos ( 0 ) = 1 , y = - cos ( 0 ) = - 1 , z = sen( 0 ) = 0.


Para t = π/2 :

x = cos (π/2) = 0 , y = - cos (π/2) = 0 , z = sen(π/2) = 1.

Assim, o parâmetro cresce seguindo o caminho :

( 1 , - 1 , 0 ) → ( 0 , 0 , 1 ).

O gráfico da equação é:

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Excelente estudo!