Concursos Públicos ⇒ (CESPE/UNB-SEDUC-CE 2013) Números Complexos Tópico resolvido

[cicero444]

Os números complexos são da forma z = a + bi, em que a e b são números reais e i é tal que [tex3]i^{2}[/tex3]=-1,— chamada de unidade imaginária. O plano cartesiano é usado para representar os números complexos geometricamente, como ilustrado na figura 1 abaixo. Representa-se o número complexo z = a + bi como o ponto de coordenadas (a, b). As extremidades dos ponteiros das horas e dos minutos nos relógios, com ilustrado na figura 2, podem ser representadas por pares de números complexos.

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Considere que, em determinado instante, depois do meio-dia, as extremidades dos ponteiros de um relógio sejam representadas
pelos números complexos z = 2i e w= [tex3]\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] i.Nesse caso, é correto afirmar que os ponteiros marcam
A 12 h e 5 min.
B 12 h e 7 min.
C 12 h e 30 min.
D 13 horas.
E 16 h e 7 min.

[csmarceloMOD]

[tex3]|z|=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2=>\alpha=90[/tex3], pois [tex3]\begin{cases}
sen\alpha=\frac{b}{|z|}=\frac{2}{2}=1\\
cos\alpha=\frac{a}{|z|}=\frac{0}{2}=0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]|w|=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1=>\beta=60[/tex3], pois [tex3]\begin{cases}
sen\beta=\frac{b}{|w|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
cos\beta=\frac{a}{|w|}=\frac{1}{2}
\end{cases}[/tex3]

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Um dos ponteiros, obviamente, está na hora zero.

No relógio analógico, a cada marcação de hora (ou de cinco minutos) temos uma abertura de 30º (360º / 12(horas) = 30º). Portanto, o segundo ponteiro está exatamente em cima do "1".

E agora? São 13h ou 12h05? Veja que, para ser 12h05, o ponteiro das horas não poderia estar exatamente sobre o "12".

Outra forma de se chegar a resposta certa (13h ou 12h05?) é perceber que, conforme dito no enunciado, os pontos no plano determinam as extremidades dos ponteiros o que, automaticamente, indica quem é quem (o ponteiro dos minutos é mais comprido).

Resposta: letra D.