IME / ITA ⇒ (IME-CG - 2012) Polinômios Tópico resolvido

[Willm17]

Seja o polinômio [tex3]P(x) = 3x + b_{2}x^{2} +...+b_{n}x^{n}[/tex3] . Determine o valor de n, sabendo que:

i) os coeficientes 3 , [tex3]b_{2},...b_{n}[/tex3], formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão positiva;

ii) [tex3]-\frac{1}{3}[/tex3] é uma raíz do polinômio; e

iii) [tex3]P(3) = 7380[/tex3] .

[Juniorhw]

[tex3]-\frac{1}{3}[/tex3] é raiz:

[tex3]0=3(\frac{-1}{3})+b_2(-\frac{1}{3})^2+...+b_n(-\frac{1}{3})^n\\\\0=-1+\frac{b_2}{9}-\frac{b_3}{27}+...+b_n(-\frac{1}{3})^n[/tex3]

Veja que se [tex3]b_2[/tex3] for [tex3]9[/tex3], [tex3]b_3[/tex3] for [tex3]27[/tex3], [tex3]b_4[/tex3] for [tex3]81[/tex3] e assim por diante, teremos [tex3]-1+1-1+1-1+...-1+1=0[/tex3] (com a condição [tex3]n[/tex3] par). Ele nos dá a informação que [tex3]3,b_2,b_3,...,b_n[/tex3] é uma PG, então pela observação que fizemos antes, sua razão é [tex3]3[/tex3]. Temos então:

[tex3]P(x)=3x+9x^2+27x^3+81x^4+...+(3^n)x^n[/tex3]

Resta colocarmos a última informação:

[tex3]7380=3.3+9.9+27.27+...+(3^n).3^n\\\\7380=9+81+729+...+9^n[/tex3]

Perceba a soma de PG de razão [tex3]9[/tex3].

[tex3]7380=9(\frac{9^{n}-1}{9-1})\\\\9^n=6561\\\\\boxed{\boxed{n=4}}[/tex3]
(satisfaz a condição [tex3]n[/tex3] par)

abraço!