Pré-Vestibular ⇒ (UFU-MG/Adaptado) Área de Triângulos Tópico resolvido

[engenheirinho]

João comprou um terreno em forma de um triângulo retângulo, numa área nobre da cidade, quis dividí-lo,
para isto construiu um muro paralelo à hipotenusa do tal triângulo. Sabendo que a área delimitada pelos dois muros paralelos correspondem à região do primeiro quadrante delimita pelas retas, que são soluções da equação [tex3]\cos\,(x + y) = 0[/tex3], com [tex3]0 \leq x + y \leq 2\pi[/tex3] , então esta área é igual a:

[tex3]a)\,\,\pi^2\,\,unidades\,\,de\,\,\acute{a}rea[/tex3]
[tex3]b)\,\,4\pi^2\,\,unidades\,\,de\,\,\acute{a}rea[/tex3]
[tex3]c)\,\,3\pi^2\,\,unidades\,\,de\,\,\acute{a}rea[/tex3]
[tex3]d)\,\,8\pi^2\,\,unidades\,\,de\,\,\acute{a}rea[/tex3]
[tex3]e)\,\,2\pi^2\,\,unidades\,\,de\,\,\acute{a}rea[/tex3]

Resposta:

---

letra A

Não sei nem como começar, desconfio até que este exercício esteja com defeito. Procurei pelo original mas não encontrei :S
Mesmo que ele esteja com defeito, alguem pode me dar uma ideia de como eu poderia juntar essas informações, ao que me parece, é impossível encontrar o valor para X e Y satisfazer aquela equação e ser raiz de uma reta.

[retlaw]

O exercício está correto engenheirinho, vamos ver se consigo ajudá-lo.

Área em azul é a área pedida

Triângulos.JPG (20.17 KiB) Exibido 1482 vezes

como [tex3]0\leq x+y\leq2\pi[/tex3]

Sabemos que [tex3]cos(x+y)=0[/tex3], então temos:

[tex3]x+y=\frac{\pi}{2}[/tex3] ou [tex3]x+y=\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Sendo [tex3]y=f(x)[/tex3] ou [tex3]y=g(x)[/tex3], temos:

[tex3]f(x)=-x+\frac{\pi}{2}[/tex3] e [tex3]g(x)=-x+\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Só tirar a área do gráfico que está em azul no 1° quadrante.

Gráfico da Função das Retas.JPG (21.63 KiB) Exibido 1482 vezes

Existem diversas formas de tirar a área desse trapézio:

Vamos tirar da seguinte forma, a área do triângulo maior menos a área do triângulo menor:

[tex3]\frac{9\pi}{4}^2.\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}^2.\frac{1}{2}=\pi^2[/tex3]