Ensino Médio ⇒ (URCA-CE) Fatorial Tópico resolvido

[PedroCunha]

(URCA-CE) Considere a função [tex3]f:N*\rightarrow \mathbb R[/tex3], dada por [tex3]f(x)=\frac{1}{(2x)(2x-2)(2x-4)\cdot ...\cdot 4\cdot 2}[/tex3] em que [tex3]N*[/tex3] e [tex3]\mathbb R[/tex3] são, respectivamente, o conjunto dos numeros naturais não nulos e o conjunto dos numeros reais. Então é correto afirmar que:

a)[tex3]f(1)=0[/tex3]

b)[tex3]f(2)=1/4[/tex3]

c) [tex3]\frac{1}{n!}\cdot \frac{1}{f(n)}=2[/tex3]

d) [tex3]f(x+y)=f(x).f(y)[/tex3]

e) [tex3]n!\cdot f(n)=\frac{1}{2^{n}}[/tex3]

Resposta

---

Letra e

Gostaria que me mostrassem o desenvolvimento das alternativas c , d e e .

O que tentei desenvolver na c foi o seguinte:

[tex3]\\

\frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{2n \cdot (2n-2) \cdot (2n-4) \dots 4 \cdot 2} \\\\

\text{Denominador:}

\\\\

\circ 2n \cdot (2n - 2) \cdot (2n-4) \dots 4 \cdot 2 \therefore 2 \cdot (n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots 2 \cdot 1) \therefore \\\\ 2 \cdot (n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots 2!) \therefore \boxed{2 \cdot n!}

\\\\[/tex3]

Onde n é tal que [tex3](n-x)! = 2[/tex3], sendo [tex3]x[/tex3] o maior valor possível que torna essa expressão verdadeira.

Estou no caminho certo?

Att.,
Pedro

[Juniorhw]

Na c vamos completar o fatorial para poder cancelá-lo:

[tex3]\frac{1}{n!}\cdot \frac{1}{f(n)}=2\\\\\\\frac{1}{n!}\cdot (2n)(2n-2)...(4)(2)=2\\\\\\\frac{1}{n!}\cdot (2n)(2n-2)...(4)(2)\cdot \frac{(2n-1)(2n-3)(2n-5)...(3)(1)}{(2n-1)(2n-3)(2n-5)...(3)(1)}=2\\\\\\\frac{1}{n!}\cdot \frac{2n!}{(2n-1)(2n-3)...(3)(1)}=2\\\\\\\frac{2}{(2n-1)(2n-3)...(3)(1)}=2\\\\\\(2n-1)(2n-3)...(3)(1)=1[/tex3]
(falso, pois temos valores positivos maiores que 1 e decrescentes se multiplicando)

Ou ainda, seguindo seu raciocínio:

[tex3]\frac{1}{n!}\cdot \frac{1}{2n\cdot 2(n-1)\cdot 2(n-2)...4\cdot 2}=2\\\\\frac{1}{n!\cdot 2^n\cdot n!}=2\\\\(n!)^2\cdot 2^n=0,5[/tex3]
(falso, n é natural!)

A d não consegui fazer sem ser substituindo x e y por valores e testando.

Na e:

[tex3]n!\cdot \frac{1}{(2n)(2n-2)...(4)(2)}\\\\\\(n)(n-1)(n-2)(n-3)...2\cdot 1\cdot \frac{1}{(2n)(2(n-1))(2(n-2))...4\cdot 2}[/tex3]

Percebe que dá para cortar tudo que tem n, sobrando somente o 2? Temos n fatores contendo o dois e o numerador é totalmente cancelado, portanto:

[tex3]\boxed{n!\cdot f(n)=\frac{1}{2^n}}[/tex3]

abraço.

[PedroCunha]

Junior, só não entendi uma coisa cara:

Como o [tex3]f(n)[/tex3] foi para o numerador no segundo passo?

[tex3]\frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{f(n)} = 2 \therefore \frac{1}{n!} \cdot (2n) \cdot (2n-2) \dots (4)(2)[/tex3]

Valeu!

[Juniorhw]

[tex3]\frac{1}{\frac{1}{(2n)(2n-2)(2n-4)...(4)(2)}}=(2n)(2n-2)(2n-4)...(4)(2)[/tex3]

abraço!

[PedroCunha]

É mesmo. Falta de atenção minha :s

Valeu cara!
Abraço