IME / ITA ⇒ (IME CG - 2009) Sistema de Equações Tópico resolvido

[Willm17]

Considere o sistema de equações [tex3]\begin{cases}
(k - 2)x + 2y - z = k + 2 \\
2x + ky + 2z = k^{2} + 3 \\
2kx + 2(k + 1)y + (k + 1)z = 2k^{3} - \frac{k^{2}}{2} - \frac{k}{2} + 5
\end{cases}[/tex3]. Discuta a solução do sistema para [tex3]k\in \mathbb{R}.[/tex3]

[jedi]

calculando o determinate da matriz dos coeficientes

[tex3]\det\begin{pmatrix}k-2&2&-1\\2&k&2\\2k&2(k+1)&k+1\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]=(k-2)k(k+1)+(-1)2(k+1)2+2.2.2k-(-1)k.2k-2.2.(k+1)-2.2(k+1)(k-2)[/tex3]

[tex3]k^3-k^2-2k-4k-4+8k+2k^2-4k-4-4k^2+4k+8[/tex3]

[tex3]=k^3-3k^2+2k[/tex3]

[tex3]=k(k-1)(k-2)[/tex3]

temos que se este determinante é diferente de 0 então o sistema apresenta apenas uma solução ou seja para valores de k diferentes de 0, 1 e 2 o sistema tem solução unica
se k=0 então o sistema fica

[tex3]\begin{cases}-2x+2y-z=2\\2x+2z=3\\2y+z=5\end{cases}[/tex3]

é possivel ver que uma equação é combinação de outras duas, por isso o sistema possui infinitas soluções

se k=2 então
[tex3]\begin{cases}2y-z=4\\2x+2y+2z=7\\4x+6y+3z=18\end{cases}[/tex3]

é possivel ver que uma equação é combinação das outras(multiplicando a segunda por 2 e somando com a primeira se obtem a terceira), portanto o sistema possui infinitas soluções

par k=1

[tex3]\begin{cases}-x+2y-z=3\\2x+y+2z=4\\2x+4y+2z=6\end{cases}[/tex3]

portanto o sistema é impossivel