Pré-Vestibular ⇒ (FGV - 1999) Geometria Analítica: Reta

[Natan]

No plano cartesiano, considere a reta [tex3](r)[/tex3] de equação [tex3]2x-y+3=0.[/tex3] Seja [tex3](t)[/tex3] a reta perpendicular a [tex3](r),[/tex3] passando pelo ponto [tex3]P(-1, 5).[/tex3]

a) Obter o ponto de intersecção da reta [tex3]t[/tex3] com o eixo das abscissas.
b) Qual o ponto da reta [tex3]r[/tex3] mais próximo de [tex3]P?[/tex3]

[Thales Gheós]

a) Se [tex3]t\perp r,[/tex3] então [tex3]m_t=-\frac{1}{m_r}.[/tex3] Como [tex3]m_r=2,[/tex3] segue que [tex3]m_t=-\frac{1}{2}.[/tex3]

Assim, como [tex3](t)[/tex3] passa por [tex3]P(-1,5),[/tex3] temos

• [tex3](t):\,y-5=-\frac{1}{2}\cdot(x-(-1))\Longrightarrow y=-\frac{x}{2}+\frac{9}{2}.[/tex3]

Portanto, como o ponto de interseção da reta [tex3](t)[/tex3] com o eixo das abscissas é obtido fazendo-se [tex3]y=0,[/tex3] vem

• [tex3]0=-\frac{x}{2}+\frac{9}{2}\Longrightarrow x=9\Longrightarrow (9,0).[/tex3]

b) Como [tex3](r) \text{ e } (t)[/tex3] são perpendiculares, o ponto de [tex3](r)[/tex3] mais próximo de [tex3]P[/tex3] é a intersecção de [tex3](r) \text{ e } (t).[/tex3]

Assim, o ponto procurado é a solução do sistema

• [tex3]\begin{cases}y=-\frac{x}{2}+\frac{9}{2}\\ y=2x+3 \end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema, encontramos [tex3]\left(\frac{3}{5},\frac{21}{5}\right).[/tex3]

• 

  AG45.png (6.23 KiB) Exibido 5318 vezes