Ensino Fundamental ⇒ Fatoração - Radiciação - Exponenciação Tópico resolvido

[jonthelles]

O Valor de [tex3]\frac{(3 + 2\sqrt{2})^{2008}}{(5\sqrt{2} + 7)^{1338}}[/tex3] + 3 - 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] é um número:

a) múltiplo de onze.
b) múltiplo de sete.
c) múltiplo de cinco.
d) múltiplo de três.
e) primo.



Grande abraço galera!

[PedroCunha]

Amigo, vou pedir que coloque apenas uma questão por tópico. Tendo dito isto, irei responder apenas a primeira questão.

Devemos lembrar de duas coisas para resolver essa questão:

[tex3]\circ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\
\circ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex3]

Com isso em mente, podemos fatorar a expressão.Veja:

[tex3]\frac{(3 + 2\sqrt{2})^{2008}}{(5\sqrt{2} + 7)^{1338}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore \frac{(1 + 2 \cdot \sqrt2 + 2)^{2008}}{(3\sqrt2 + 2\sqrt2 + 7)^{1338}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore \\\\ \frac{((1+\sqrt2)^2)^{2008}}{( 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt2 + (\sqrt2)^3 + 1^3 + 3 \cdot 1 \cdot \sqrt2 ^2 )^{1338}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore \\\\ \frac{(1+\sqrt2)^{4016}}{((1+\sqrt2)^3)^{1338}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore \\\\ \frac{(1+\sqrt2)^{4016}}{(1+\sqrt2)^{4014}} + 3 - 2\sqrt2 \therefore (1+\sqrt2)^2 + 3 - 2\sqrt2 \therefore 1 + 2\sqrt2 + 2 + 3 - 2\sqrt2 \therefore \boxed{\boxed{6}}[/tex3]

Att.,
Pedro

¹Para a sua outra questão, basta observar que o último algarismo das potências sempre obedece uma ordem

[jonthelles]

Pedro, eu não entendi pra 'onde foi' o 7 do divisor (5 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] + 7). Logo na segunda passagem, ele 'some'.
Abraço!

[PedroCunha]

Perdão. Foi um erro se digitação. Mas o que acontece na verdade é que quando vamos "juntando" os termos para preparar a fatoração, especificamente nessa parte [tex3]a^3 + 3ab^2[/tex3], temos que o 7 é igual a soma desses termos.

Espero que você tenha entendido.

Abraços

[jonthelles]

Sim!! Agora entendi!!
[tex3](a+b)^{3}[/tex3], onde a=1 e b=[tex3]\sqrt{2}[/tex3] e 7, fatorado, é igual a [tex3]1^{3}[/tex3] + 3.1.[tex3](\sqrt{2})^{2}[/tex3]

Muito obrigado!
Abraço

[PedroCunha]

Exato,

Abraços