IME / ITA ⇒ (EPCAR - 2007) Geometria Plana: Área do Círculo Tópico resolvido

[Wachsmuth]

Considere duas cordas paralelas ao diâmetro de um semicírculo de raio [tex3]6,[/tex3] que determina neste semicírculo arcos de [tex3]60^\circ[/tex3] e [tex3]120^\circ.[/tex3] A área compreendida entre essas cordas é ___ da área do semicírculo

a) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{9}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{6}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Wachsmuth,

Utilizando o novo mecanismo do fórum, de enviar imagens de geometria, vou responder a sua questão.

A área a ser calculada é a cinzenta

circulo.GIF (2.07 KiB) Exibido 6216 vezes

Devemos calcular a área do setor circular (fatia de pizza) [tex3]AOB[/tex3] (que tem [tex3]\frac{2 \cdot \pi}{3} \text{rad}[/tex3]) e diminuir a área do triângulo [tex3]AOB.[/tex3]

Área do setor circular [tex3]AOB=\frac{\frac{2 \cdot \pi}{3} \cdot r^2}{2}[/tex3]

Area do triângulo [tex3]AOB=\frac{r^2 \cdot \sen \(\frac{2 \cdot \pi}{3}\)}{2}[/tex3]

(1° equação) Um menos o outro [tex3]=r^2 \cdot \left( \frac{\pi}{3}-\frac{\sen \(\frac{2 \cdot \pi}{3}\)}{2}\right)[/tex3]

Agora vamos calcular a área do setor circular [tex3]DOC[/tex3] (que tem [tex3]\frac{2 \cdot \pi}{3} \text{rad}[/tex3]) e diminuir a área do triângulo [tex3]DOC.[/tex3]

Área do setor circular [tex3]AOB=\frac{\frac{\pi}{3} \cdot r^2}{2}[/tex3]

Area do triângulo [tex3]AOB=\frac{r^2 \cdot \sen \(\frac{\pi}{3}\)}{2}[/tex3]

(2° equação) Um menos o outro: [tex3]=r^2 \cdot \left( \frac{\pi}{6}-\frac{\sen \(\frac{\pi}{3}\)}{2}\right)[/tex3]

Agora diminuindo a 1° equação da 2° equação, calculamos a área hachurada. Lembre que [tex3]\sen \left(\frac{\pi}{3}\right) = \sen \left(\frac{2 \cdot \pi}{3}\right)[/tex3]:

(1° eq.) [tex3]{-}[/tex3] (2° eq.) [tex3]= \frac{\pi \cdot r^2}{6}[/tex3]

Sendo a área total do círculo [tex3]= \pi \cdot r^2[/tex3] vemos que a área hachurada é [tex3]\frac{1}{6}[/tex3] da área total.

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br

[Wachsmuth]

A área do Semicírculo é: [tex3]S=\pi r^2/2,[/tex3] logo a razão deve ser [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Wachsmuth,

Pois é... tô tão atucanado trabalhando direto em cima deste novo site que quando fui utilizar o novo TeX acabei não percebendo esta falha.

A resolução que fiz foi como se estivesse sendo pedido círculo, mas é pedido semicírculo, e a razão é o dobro então, [tex3]\frac{1}{3}.[/tex3]

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br

[SirRodC]

Valeu pela resolução, mestre Caju!