Ensino Superior ⇒ Limite - Indeterminação

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 18 - Pág.: 810)

Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.

[tex3]\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {xy^4}{x^2+y^8}[/tex3]

Resposta para o cálculo do limite: 0 (zero).

Como faço para provar esse limite?

[temujin]

Vc pode usar coordenadas polares:

[tex3]x= r cos \theta \ , \ y=r sen \theta[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \ \frac{xy^4}{x^2+y^8} = \lim_{r \to 0} \ \frac{r^5 cos \theta sen \theta}{r^2cos^2 \theta+r^8 sen^8 \theta} = \lim_{r \to 0} \ \frac{\cancel{r^5} cos \theta sen \theta}{\cancel{r^2}(cos^2 \theta+r^6sen^8 \theta)}[/tex3]

[tex3]\lim_{r \to 0} \ \frac{r^3 cos \theta sen \theta}{cos^2 \theta+r^6 sen^8 \theta} = \frac{0.cos \theta sen \theta}{cos^2 \theta+0.sen^8 \theta} = 0[/tex3]