Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Geometria Analítica: Reta

[Natan]

Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta [tex3]x+y=4.[/tex3] Determine seus vértices sabendo que um deles é o ponto simétrico de [tex3](-1, -1)[/tex3] em relação à origem do sistema.

[Chris]

AC90.png (4.56 KiB) Exibido 5798 vezes

Primeiramente temos duas informações do quadrado. Um ponto, que no meu caso será o [tex3]D(1;1)[/tex3] (simétrico a [tex3](-1;-1)[/tex3] em relação a origem) e a equação de uma diagonal, que no nosso caso será a diagonal [tex3]AC,[/tex3] pois o ponto [tex3]D[/tex3] não pertence à reta [tex3]x + y = 4.[/tex3]

Sabemos que as diagonais de um quadrado se cruzam sempre perpendicularmente, portanto a reta da diagonal [tex3]BD[/tex3] deve ser perpendicular a reta [tex3]x + y = 4.[/tex3]

Uma reta perpendicular a reta [tex3]x + y = 4[/tex3] pode ser escrita como [tex3]x - y = k.[/tex3] Como a nossa passa pelo ponto [tex3](1;1),[/tex3] temos:

[tex3]1 - 1 = k,[/tex3] portanto [tex3]k = 0.[/tex3]

Logo a reta da diagonal [tex3]BD[/tex3] é a reta [tex3]y = x.[/tex3] Portanto, resolvendo um sistema entre as duas retas achamos o ponto de encontro das mesmas, que no caso é [tex3]P(2;2).[/tex3] Agora fica fácil achar [tex3]B,[/tex3] que é simétrico a [tex3]D[/tex3] em relação a [tex3]P.[/tex3] Portanto [tex3]B(3;3).[/tex3] Agora fica fácil achar os outros.