Ensino Médio ⇒ Sinal da função

[Auto Excluído (ID:8010)]

Eu estava resolvendo inequações paramétricas e cheguei à uma conclusão. Eu não consegui demonstrar o que fiz e também não consegui achar nenhum site ou livro que demonstrava o que eu vou colocar abaixo.

[tex3]a_1,a_2,a_3,...a_n\in\mathbb{R}^*[/tex3] e [tex3]\frac{b_n}{a_n}>\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}>\frac{b_{n-2}}{a_{n-2}}>...>\frac{b_{2}}{a_{2}}>\frac{b_{1}}{a_{1}}[/tex3]

[tex3]f(x)=(a_1x-b_1)(a_2x-b_2)(a_3x-b_3)...(a_{n-1}x-b_{n-1})(a_{n}x-b_n)[/tex3]

Se [tex3]a_1.a_2.a_3.a_4...a_{n}<0[/tex3] então o sinal da função [tex3]f(x)[/tex3] será:

Sinal1.png (3.59 KiB) Exibido 386 vezes

Se [tex3]a_1.a_2.a_3.a_4...a_{n}>0[/tex3] então o sinal da função [tex3]f(x)[/tex3] será:

Sinal2.png (3.47 KiB) Exibido 386 vezes

A conclusão que fiz acima está me ajudando bastante na hora de resolver inequações paramétricas, mas não consegui demonstrar.
Intuitivamente vemos que é verdade, mas eu gostaria de ver uma demonstração legal.

[Auto Excluído (ID:8010)]

Se ninguém conseguir demonstrar, por favor tente achar algum polinômio onde a relação acima não funcione!