Ensino Superior ⇒ Volume de um Sólido de Revolução Tópico resolvido

[carcleo]

Essa também esta difícil:

Usando o cálculo de volumes de sólidos de revolução por integrais calcule:
(a) O volume de um cone de altura h e raio da base igual a r.
(b) O volume da esfera de raio r.

[theblackmamba]

Vou dar algumas dicas:

Coloque o cone com o eixo vertical passando pelo vértice e centro do círculo da base.

Seja um círculo de raio [tex3]x[/tex3] a uma distância [tex3]y[/tex3] do vértice do cone e a origem no centro da base. Por semelhança de triângulos vamos ter:

[tex3]\frac{x}{r}=\frac{y}{h}[/tex3]
[tex3]x=\frac{yr}{h}[/tex3]

A área do círculo vale: [tex3]A=\pi x^2=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot y^2[/tex3]

Vamos achar o volume do cone integrando a área da fatia variando [tex3]y[/tex3] de [tex3]0[/tex3] até [tex3]h[/tex3].

[tex3]V=\int_0^yA\,dy[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^yy^2 \,dy[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^h[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}[/tex3]
[tex3]\boxed{V=\frac{\pi r^2 h}{3}}[/tex3]

Para o outro veja uma solução: viewtopic.php?t=29911

Avise se tiver dúvidas.

Abraço.

[carcleo]

Sobre volume o cone, pelo que aprendi vendo as soluções de vocês, fiz assim: (e deu a mesma coisa e queria saber se posso raciocinar assim):

[tex3]V=\int\limits_{0}^{h}\frac{\Pi r^2h}{3} dx[/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{h}\frac{\Pi \frac{r^3}{3}h}{3} dx[/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{h}\frac{\Pi r^3h}{6} dx[/tex3]

[tex3]V=\frac{\Pi}{6}\int\limits_{0}^{h} r^3h dx[/tex3]

[tex3]V=\frac{\Pi}{6}* r^3h\Big|_{0}^{h}[/tex3]

Esta certo não esta?

[carcleo]

Não entendi essa regra de proporção.

Poderia me ajudar a entender fazendo favor?

[theblackmamba]

Não entendi essa regra de proporção.

Poderia me ajudar a entender fazendo favor?

Veja a figura para ajudar melhor na interpretação:

cone.png (12.42 KiB) Exibido 4511 vezes

Proporção nos triângulos [tex3]ABC\sim ADE[/tex3]

[tex3]\frac{x}{r}=\frac{y}{h}[/tex3]

Quanto a sua solução ela está errada. Você calculou a integral do próprio volume encontrado. Isso não faz sentido. Se tiver dúvidas pode falar.
Espero ter ajudado!
Abraço.

[carcleo]

y esta para h assim como x esta para r.

Entendi porem ficaram algumas dúvidas:

A) Na solução, é colocada a altura variando. porem, o raio do circulo central, a cada instante da altura, varia junto com ela.
Não seria o caso do raio entrar para a integral também?

B) Quando você faz:
[tex3]V=\int_0^yA\,dy[/tex3]
O correto não seria:
[tex3]V=\int_0^hA\,dy[/tex3]
Uma vez que a variação do circulo central é de 0 até h que é a altura do cone?

Bom, será que uma solução correta não seria?

[tex3]\frac{x}{r}=\frac{y}{h}[/tex3]
[tex3]x=\frac{yr}{h}[/tex3]
A área do círculo vale:
[tex3]A=\pi x^2=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot y^2[/tex3]
Vamos achar o volume do cone integrando a área da fatia variando o raio do circulo central de 0 até h(altura do cone).
[tex3]V=\int_0^hA\,dy[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi y^2}{h^2}\int_0^hr^2 \,dy[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi y^2}{h^2}\cdot \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^h[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi y^2}{h^2}\frac{h^3}{3}[/tex3]
[tex3]V=\frac{\pi y^2h}{3}[/tex3]

? O que você acha?

Sobre a questão B, a do circulo. Não consegui entender a explicação do link que você passou.
Me pareceu um tanto confuso.
Cheguei até a ver o vídeo abaixo:
http://www.youtube.com/watch?v=Lhxly0vKdzE
Mas não ajudou em muito.
Se puder dar uma luz eu agradeço e muito.

Pensei numa lógica assim:
A) Encontro a altura que a esfera ocupa em relação à altura do cone
B) A metade dessa altura é o raio da esfera.
C) Calculo do volume da esfera por álgebra. Ou
D) Calculo do volume da esfera por revolução de um circulo que vai de 0 até sua altura.

Mas como fazer isso? E mais: A ideia esta realente correta?
Assim estaria correto?
Área do Circulo: [tex3]\Pi r^2[/tex3]
Variando de 0 até h (altura da esfera)
Logo,

[tex3]Volume=\int_0^hAc\,dr[/tex3]
[tex3]Volume=\int_0^h\Pi r^2\,dr[/tex3]
[tex3]Volume=\Pi\int_0^h r^2\,dr[/tex3]
[tex3]Volume=\Pi[r^2]h-0[/tex3]
[tex3]Volume=\Pi[\frac{r^3}{3}]h-0[/tex3]
[tex3]Volume=\frac{\Pi}{3}[r^3]h-0[/tex3]

Como o raio varia de 0 até h, teremos então r em função de h. Logo:

[tex3]Volume=\frac {\Pi}{3}h^3[/tex3]

Seria isso?
Entendendo isso acho que já para eu dar uma alavancada nos estudos.

Na verdade, o que esta acontecendo é erro de interpretação (ou atenção) de minha parte mesmo. Pesando aqui mais um pouco, conclui que, se o sólido é gerado 'por revolução', isso significa que que era uma figura plana (triângulo) rotacionado sobre um eixo.

Logo, o que se precisa encontrar, são os dados desse triângulo. Base variando de 0 até o topo pela integral.

Como eu faço aqueles agradecimentos do site. Tipo Carlos agradece à.....?

Queria agradecer à você e mais um colega que me ajudou!

[theblackmamba]

Você está confundindo algumas coisas.

Você tem que pegar um círculo qualquer dentro do cone e "varrer" de baixo até lá em cima. Você pegou o círculo de baixo, mas o raio desse círculo é fixo. O círculo de raio [tex3]x[/tex3] é o que varia.

Você está integrando em relação a [tex3]r[/tex3] que é uma constante. Você integrou [tex3]r[/tex3] variando de [tex3]0[/tex3] até [tex3]h[/tex3], mas o raio não é igual a altura! Temos que integrar em relação a [tex3]y[/tex3] pois colocamos o cone na vertical.

Temos duas variáveis [tex3]x,y[/tex3]. Utilizei a proporção para eliminar uma variável, no caso, [tex3]x[/tex3] e colocar em função de [tex3]y[/tex3] para ficarmos apenas com uma variável e fazer a integração.

Recomendo pegar alguns livros de cálculo como o Stewart. Lá há uma explicação mais detalhada do assunto do que consigo te explicar.

Se você tem dúvidas no tópico que recomendei poste a sua dúvida lá mesmo.

Grande abraço

[carcleo]

Agora entendi,

A confusão minha estava em 'quem varia em relação a quem':

Senão vejamos:
[tex3]\frac{x}{y}=\frac{r}{h}[/tex3]
[tex3]x = \frac{ry}{h}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{h}\Pi \frac{ry}{h}dy[/tex3]
[tex3]\int\limits_{0}^{h}\Pi \frac{r^2}{h^2}y^2dy[/tex3]
[tex3]\Pi \frac{r^2}{h^2}\int\limits_{0}^{h}y^2dy[/tex3]
[tex3]\Pi \frac{r^2}{h^2}[\frac{y^3}{3}]h-0[/tex3]
[tex3]\Pi \frac{r^2}{h^2}[\frac{h^3}{3}][/tex3]
[tex3]\Pi \frac{r^2}{h^2}*\frac{h^3}{3}[/tex3]
[tex3]\Pi \frac{r^2h}{3}[/tex3]
[tex3]\frac{\Pi r^2h}{3}[/tex3]

Embora o y, pelo desenho, apenas esteja locado entre o circulo central e a parte de cima, ele 'corre' por todo h.
Então, é ele que precisa ser derivado. E, quem varia em função da variação y é o x. Ou seja, o raio do circulo central que 'sobe e desce' sobre o eixo de y

E, no caso da esfera,

Temos que Raio da esfera varia e relação ao eixo de x nos 4 Quadrantes.
Logo,
R² = x² + y²
y² = R² - x²
x = [tex3]\sqrt[2]{R^2 - x^2}[/tex3]
[tex3]4\int\limits_{0}^{R}\Pi (\sqrt[2]{R^2 - x^2})^2dx[/tex3]
[tex3]4\int\limits_{0}^{R}\Pi (R^2 - x^2)dx[/tex3]
[tex3]4\Pi \int\limits_{0}^{R}(R^2 - x^2)dx[/tex3]
[tex3]4\Pi [R^2x - \frac{x^3}{3}]R-0dx[/tex3]
[tex3]4\Pi (R^2R - \frac{R^3}{3})[/tex3]
[tex3]4\Pi (R^3 - \frac{R^3}{3})[/tex3]
[tex3]4\Pi (\frac{2R^3}{3})[/tex3]
[tex3](\frac{4\Pi2R^3}{3})[/tex3]
[tex3](\frac{8\Pi R^3}{3})[/tex3]

O que há de errado aqui?
Não consigo fazer dar [tex3]\frac {4\Pi r^3}{3}[/tex3]
Será que o pensamento certo seria que e vez de R dar 4 voltas nos quadrantes, na verdade ele dá 2 voltas no eixo de x?
Se for assim, ai dá certo. Mas eu preciso descobrir a lógica.
Ta certo o pensamento agora?

[jedi]

na verdade sua integral seria

[tex3]2\int_{0}^{R}\pi(R^2-x^2)dx[/tex3]

repare que [tex3]\pi y^2=\pi(R^2-x^2)[/tex3] é a area do circulo que se obtem cortando a esfera
ao fazer a integral de x variando de 0 a R teremos o somatorio das infinitas areas que compõe metade da esfera que é igual ao seu volume, multiplicando por 2 teremos o volume total da esfera

[carcleo]

Isso.

E agora, como faço para agradecer o apoio de vocês tipo:

Carlos agradeceu tantas vezes.