IME / ITA ⇒ (IME CG - 2012) Elipse Tópico resolvido

[Willm17]

Considere uma elipse e um circulo com áreas iguais e centro coincidente situado no ponto O(a,b). Sabe-se que o semi-eixo horizontal desta elipse mede a e o semi-eixo vertical mede b. Determine a(s) coordenada(s) do(s) ponto(s) de intersecção entre a elipse e o circulo dado, em função de a e b.

[FilipeCaceres]

Olá Willm17,

A área da elipse vale
[tex3]A_e=\pi ab[/tex3]

A área do circulo vale
[tex3]A_c=\pi R^2[/tex3]

Do enunciado tiramos,
[tex3]A_e=A_c[/tex3]
[tex3]R^2=ab[/tex3]

Desta forma as equações que descrevem as curvas são:
[tex3]\begin{cases}
(x-a)^2+(y-b)^2=ab \\
\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1
\end{cases}[/tex3]

Isolando [tex3](x-a)^2[/tex3] da primeira e substituindo na segunda
[tex3]\frac{ab-(y-b)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1[/tex3]
[tex3](y-b)^2=\frac{ab^2}{a+b}[/tex3]
[tex3]\boxed{y=b\left(1\pm\sqrt{\frac{a}{a+b}}\right)}[/tex3]

Analogamente,
[tex3]\boxed{x=a\left(1\pm\sqrt{\frac{b}{a+b}}\right)}[/tex3]

Abraço.