Olimpíadas ⇒ (Gandhi) Problemas Selecionados de Matemática Tópico resolvido

[PauloLima]

Questão 62 do livro Problemas Selecionados de Matemática -Gandhi

Em cada uma das frações abaixo, a soma do numerador com o denominador é igual a 3980.
[tex3]\frac{1}{3979}[/tex3], [tex3]\frac{2}{3978}[/tex3], [tex3]\frac{3}{3977}[/tex3], ... , [tex3]\frac{3979}{1}[/tex3]

O número de frações próprias (numerador menor que o denominador) irredutíveis nesta sequência é igual a:
(A) 587
(B) 597
(C) 792
(D) 796
(E) 1989

Resposta

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Gabarito: C

[Auto Excluído (ID:8010)]

Eu vou reescrever a fração:

[tex3]\frac{n}{3980-n} \;; \; n \in \mathbb{N}[/tex3]

As frações devem ser próprias, portanto

[tex3]n<3980-n \Rightarrow 2n<3980 \Rightarrow n<1990[/tex3].

[tex3]3980=2^2.5.199[/tex3], portanto, para que a fração seja irredutível [tex3]n[/tex3] não pode ser múltiplo de [tex3]2[/tex3], [tex3]5[/tex3] e [tex3]199[/tex3]. [tex3]n<1990\Rightarrow[/tex3] há [tex3]1989[/tex3] soluções inteiras para [tex3]n[/tex3].

Para encontrar todas as frações próprias irredutíveis basta encontrar todos os [tex3]n[/tex3]'s que satisfazem as condições acima.
Agora vamos ver quantos números múltiplo de [tex3]2[/tex3], [tex3]5[/tex3] e [tex3]199[/tex3] tem nos primeiros [tex3]1989[/tex3] números inteiros positivos.

[tex3]0<n<1990\Rightarrow[/tex3] há [tex3]994[/tex3] números múltiplos de [tex3]2[/tex3], [tex3]\frac{398}{2}[/tex3] números múltiplos de 5 e [tex3]\frac{10}{2}[/tex3] números múltiplos de [tex3]199[/tex3].

Obs.: [tex3]\frac{398}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{10}{2}[/tex3] estão sendo divido por [tex3]2[/tex3] pois assim excluíremos todos os números pares multiplos de [tex3]5[/tex3] e [tex3]199[/tex3] uma vez que já estão incluídos nos [tex3]994[/tex3] números múltiplos de [tex3]2[/tex3].

Portanto, o número de [tex3]n[/tex3]'s que satisfaz as condições acima é [tex3]1989-\left(994+\frac{398}{2}+\frac{10}{2}\right)=\boxed{791}[/tex3]

Como você pode ver, meu resultado não está igual ao do gabarito. Se alguém encontrar o meu erro me avise, por favor!

[jwf]

A resolução se dar pela expressão:
1989 - (994 + 397÷2 + 9÷2)
1989 - (2394÷2)
1989 - 1197
792
Letra C