Pré-Vestibular ⇒ (UFC - 1999) Trigonometria: Identidade Trigonométrica Tópico resolvido

[barbarahass]

Considere a igualdade [tex3]\text{tg}x=\text{cotg}x+\frac{P\cdot (2-\sec^{2}x)}{2\text{tg}x}.[/tex3] Assinale a opção que apresenta o valor de [tex3]P,[/tex3] para o qual a igualdade acima seja válida para todo [tex3]x\in\mathbb{R},[/tex3] [tex3]x\neq\frac{k\pi}{2},[/tex3] [tex3]k[/tex3] inteiro.

a) [tex3]2.[/tex3]
b) [tex3]1.[/tex3]
c) [tex3]0.[/tex3]
d) [tex3]{-}1.[/tex3]
e) [tex3]{-}2.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

• [tex3]\text{cotg}x+\frac{P\cdot(2-\sec^{2}x)}{2\text{tg}x}=\\
  \frac{1}{\text{tg}x}+\frac{P\cdot[2-(1+\text{tg}^{2}x)]}{2\text{tg}x}=\\
  \frac{2+P\cdot( 1-\text{tg}^{2}x)}{2\text{tg}x}=\\
  \frac{2+P-P\cdot\text{tg}^{2}x}{2\text{tg}x}=\\
  \frac{2+P}{2\text{tg}x}-\frac{P\cdot\text{tg}^{2}x}{2\text{tg}x}=\\
  \frac{2+P}{2\text{tg}x}-\frac{P\cdot\text{tg}x}{2}[/tex3]

Para que essa expressão seja igual a [tex3]\text{tg}x[/tex3] devemos ter

• [tex3]2+P=0\Rightarrow P=-2.[/tex3]

[barbarahass]

Obrigada pela resolução Karl,
b-juss

[caiorsf]

Alguém pode me explicar o que aconteceu na segunda linha da conta aonde está [tex3]-\sec ^2x[/tex3] ?

[jrneliodias]

Ele fez uma substituição trigonométrica:

[tex3]1+\tan^2x=\sec^2x[/tex3]

Abraço.