Física I ⇒ Resistência de Materiais Tópico resolvido

[Borracha22]

Um cilindro sólido de [tex3]50\,\,mm[/tex3] de diâmetro e [tex3]900\,\,mm[/tex3] de comprimento acham-se sujeitos a uma força axial de tração de [tex3]120 kN[/tex3]. Uma parte deste cilindro de comprimento [tex3]L_1[/tex3] é de aço e a outra parte unida ao aço é de alumínio e tem comprimento [tex3]L_2[/tex3]. Determinar os comprimentos [tex3]L_1[/tex3] e [tex3]L_2[/tex3] de modo que os dois materiais apresentem o mesmo alongamento.

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Dados:

[tex3]E_{aco} = 2.10^4\,\,kN/cm^2[/tex3]
[tex3]E_{al} = 0,7.10^4\,\,kN/cm^2[/tex3]

OBS: Não consigo postar a imagem, deviam deixar BBCodes funcionais para todos os usuários.

Resposta

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[tex3]L_1 = 66,6\,\,cm[/tex3]

[tex3]L_2 = 23,33\,\,cm[/tex3]

[theblackmamba]

Módulo de Young:

[tex3]E=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta \ell}{\ell_0}}=\frac{F \ell_0 }{A \Delta \ell}[/tex3]

Sendo [tex3]F[/tex3] a força aplicada, [tex3]A[/tex3] a área da secção, [tex3]\Delta \ell[/tex3] o alongamento e [tex3]\ell_0[/tex3] o comprimento inicial.

Note que o termo [tex3]\frac{F}{A\Delta \ell}[/tex3] é constante. Então vamos chamá-lo de [tex3]k[/tex3].

[tex3]E=k\ell_0\,\,\therefore\,\,k=\frac{E}{\ell_0}[/tex3]

[tex3]\ell_1+\ell_2=900mm[/tex3]

[tex3]\frac{E_1}{\ell_1}=\frac{E_2}{\ell_2}[/tex3]
[tex3]\frac{2\cdot \cancel{10^4}}{\ell_1}=\frac{0,7\cdot \cancel{10^4}}{\ell_2}[/tex3]
[tex3]\ell_2=0,35\cdot \ell_1[/tex3]

Logo temos:
[tex3]\ell_1+0,35\ell_1=900[/tex3]
[tex3]\ell_1=\frac{900}{1,35}[/tex3]
[tex3]\boxed{\ell_1\,\,\approx\,\,666,66\,mm}\,\,\Rightarrow\,\,\boxed{\ell_2\,\,\approx\,\,233,33\,mm}[/tex3]

Que dá a mesma resposta do gabarito em [tex3]cm[/tex3].

PS.: Para colocar imagens nos tópicos acompanhe o vídeo preparado pelo Profº Caju: http://www.youtube.com/watch?v=Zb-b4B6UdV0

Abraço.