Pré-Vestibular ⇒ (UFPA - 2008) Mega-Sena e Probabilidade

[Karl Weierstrass]

No Concurso da Mega-Sena são sorteados [tex3]6[/tex3] números de [tex3]01[/tex3] a [tex3]60[/tex3]. Por exemplo, o concurso [tex3]924[/tex3] teve como números sorteados [tex3]02,\,20,\,21,\,27,\,51[/tex3] e [tex3]60[/tex3], ou seja, houve um par de números consecutivos, [tex3]20[/tex3] e [tex3]21[/tex3]. A probabilidade de que no jogo da Mega-Sena haja um par de números consecutivos sorteados é:

a) [tex3]\frac{54!}{60!}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[/tex3] b) [tex3]\frac{53!}{59!}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[/tex3] c) [tex3]1 - \frac{56!\,55!}{49!\,60!}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[/tex3] d) [tex3]1 - \frac{54!\,53!}{48!\,60!}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[/tex3] e) [tex3]1 - \frac{55!\,54!}{49!\,60!}[/tex3]












[tex3]\,[/tex3]

[Chris]

O enunciado não explicíta. Ele quer exatamente um par ou no mínimo um par?

[Karl Weierstrass]

Era exatamente essa a minha dúvida. Estava suspeitando que o examinador quis dizer "pelo menos um par" e esqueceu. Aplicando o Primeiro Lema de Kaplansky confirmei a minha suspeita.

Primeiro Lema de Kaplansky:

O número de [tex3]p[/tex3]-subconjuntos de [tex3]\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}[/tex3] nos quais não há números consecutivos é

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(n, p)=C_{n-p+1}^p[/tex3]



[tex3]\,\,\,\,\,[/tex3]

[Chris]

Era exatamente essa a minha dúvida. Estava suspeitando que o examinador quis dizer "pelo menos um par" e esqueceu. Aplicando o Primeiro Lema de Kaplansky confirmei a minha suspeita.

Primeiro Lema de Kaplansky:

O número de [tex3]p[/tex3]-subconjuntos de [tex3]\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}[/tex3] nos quais não há números consecutivos é

[tex3]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(n, p)=C_{n-p+1}^p[/tex3]



[tex3]\,\,\,\,\,[/tex3]

Mas bateu com o gabarito fazendo isso?

[Karl Weierstrass]

Afirmativo. A probabilidade de que nenhum par de números consecutivos seja sorteado é o resultado do Lema acima dividido pelo número de maneiras de sortear seis números quaisquer. Daí é só aplicar o teorema do evento complementar.

[Chris]

Afirmativo. A probabilidade de que nenhum par de números consecutivos seja sorteado é o resultado do Lema acima dividido pelo número de maneiras de sortear seis números quaisquer. Daí é só aplicar o teorema do evento complementar.

É, então o enunciado tava furado mesmo... vou tentar entender o lema depois.