Física I ⇒ Resistência de Materiais Tópico resolvido

[Borracha22]

7) Uma barra de aço e outra de alumínio têm as dimensões indicadas na figura. Determine a carga "P" que provocará um encurtamento total de [tex3]0,25 \,\,mm[/tex3] no comprimento do sistema. Admitimos que as barras sejam impedidas de flambar lateralmente, e despreza-se o peso próprio das barras.
Dados:
[tex3]E_{aco} = 20000 \,\,kN/cm^2\\ E_{a\ell} = 7000 \,\,kN/cm^2[/tex3]

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Resposta

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[tex3]P \sim 1900 \,\,kN[/tex3]

[theblackmamba]

OBS.: As medidas assinaladas estão em [tex3]cm[/tex3].

Seja [tex3]x[/tex3] o encurtamento do aço e [tex3]y[/tex3] o encurtamento do alumínio.

[tex3]x+y=0,25\,\,mm=0,025\,\,cm[/tex3]

Dos outros exercícios passados vamos ter:

[tex3]E=\frac{F\ell}{A\Delta \ell}[/tex3]

[tex3]E_{aco}=\frac{P\cdot \ell_{aco}}{A_{aco}\cdot x}[/tex3].
[tex3]x=\frac{P\ell_{aco}}{E_{aco}\cdot A_{aco}}[/tex3]

Da mesma forma:
[tex3]y=\frac{P\ell_{a\ell}}{E_{a\ell}\cdot A_{a\ell}}[/tex3]

Onde [tex3]A=L^2[/tex3], onde [tex3]L[/tex3] é a medida do lado do quadrado da secção da barra.

Substituindo:
[tex3]\frac{P\ell_{aco}}{E_{aco}\cdot A_{aco}}+\frac{P\ell_{a\ell}}{E_{a\ell}\cdot A_{a\ell}}=0,025[/tex3]. Colocando P em evidência:

[tex3]P\cdot \left(\frac{\ell_{aco}}{E_{aco}\cdot A_{aco}}+\frac{\ell_{a\ell}}{E_{a\ell}\cdot A_{a\ell}}\right)=0,025[/tex3]

[tex3]A_{aco}=50^2=2500\,cm^2[/tex3]
[tex3]A_{a\ell}=100^2=10000 \,cm^2[/tex3]

[tex3]P\cdot \left(\frac{300}{20000\cdot 10^3\cdot 2500}+\frac{500}{7000\cdot 10^3\cdot 10000}\right)=0,025[/tex3]
[tex3]P\cdot \frac{1}{10^8}\left(\frac{3}{5}+\frac{5}{7}\right)=0,025[/tex3]
[tex3]P=\frac{0,025\cdot 10^8\cdot 35}{46}\,\,\approx\,\,19021744\,N[/tex3]
[tex3]\boxed{P\,\,\approx\,\,1900\,kN}[/tex3]

Abraço.