IME / ITA ⇒ Solução do Problema 82 - III Maratona de Matemática IME/ITA

[theblackmamba]

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Solução geral:

Considerando a imagem:

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Da figura temos:
[tex3]\overline{MH}\perp\overline{AB}[/tex3]
[tex3]\overline{M'H}=\overline{MH}=\overline{MT}=\overline{PM}+\overline{PH}[/tex3]

Por Potência de Ponto no círculo [tex3]C_1:[/tex3]
[tex3]\overline{CP}\cdot \overline{PD}=\overline{PM}\cdot \overline{PM'}[/tex3]
[tex3]\boxed{\overline{CP}\cdot \overline{PD}=\overline{PM}\cdot (2\overline{PH}+\overline{PM})}\hspace{20pt}(\text{I})[/tex3]

Por Potência de Ponto no círculo [tex3]C_2:[/tex3]
[tex3]\overline{CP}\cdot \overline{PD}=\overline{PH}\cdot \overline{PT}[/tex3]
[tex3]\boxed{\overline{CP}\cdot \overline{PD}=\overline{PH}\cdot (2\overline{PM}+\overline{PH})}\hspace{20pt}(\text{II})[/tex3]


[tex3](\text{I})=(\text{II})[/tex3]

[tex3]\cancel{2\overline{PM}\cdot \overline{PH}}+(\overline{PM})^2=\cancel{2\overline{PM}\cdot \overline{PH}}+(\overline{PH})^2[/tex3]
[tex3]\overline{PM}=\overline{PH}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{\overline{PM}}{\overline{PH}}=1}}[/tex3]