Ensino Médio ⇒ (Simulado Positivo) Progressão Geométrica - Logaritmos Tópico resolvido

[PedroCunha]

Os termos da progressão geométrica [tex3](x; x^3; x^5; \dots x^{199})[/tex3] são tais que:

[tex3]\log_2 x + \log_2 x^3 + \log_2 x^5 + \dots + \log_2 x^{199} = 20000[/tex3]

Qual o valor de x?

a) [tex3]15[/tex3]

b) [tex3]12[/tex3]

c) [tex3]4[/tex3]

d) [tex3]0,1[/tex3]

e) [tex3]0,4[/tex3]

¹Não possuo gabarito.

Att.,
Pedro

[theblackmamba]

Aplicando a relação de logaritmos:

[tex3]\log_2\,(x\cdot x^3\cdot x^5\cdots x^{199})=20000[/tex3]
[tex3]x^{1+3+5+...+199}=2^{20000}[/tex3]

[tex3]1+3+5+...+199=\frac{(199+1)\cdot 100}{2}=10000[/tex3]

[tex3]x^{10000}=2^{20000}[/tex3]
[tex3]x=2^2[/tex3]
[tex3]\boxed{x=4}[/tex3]. Letra C

Abraço.

[PedroCunha]

Até tinha feito assim. Mas fiquei com uma dúvida:

Porque virou um multiplicação?

A propriedade do logaritmo não é a multiplicação virar soma?

Att.,
Pedro

[theblackmamba]

A propriedade do logaritmo não é a multiplicação virar soma?

E vice-versa!

[tex3]\log_n\,(ab)=\log_na+\log_n b[/tex3] então [tex3]\log_na+\log_n b=\log_n\,(ab)[/tex3]

Grande abraço.

[PedroCunha]

Entendi.

Estava fazendo algumas confusões.

Obrigado.

Att.,
Pedro

[PedroCunha]

TheBlackMamba, o que fiz na seguinte questão está certo então?

[tex3](x^{2}-2)-log_{\left(\frac{1}{2}\right)}(x^{2}+2)=2 \therefore x^2 - 4 = \log_{\frac{1}{2}}(x^2+2) \therefore \\\\ x^2-4 =\log_\frac{1}{2} x^2 \cdot \log_\frac{1}{2} 2 \therefore x^2 -4 = \log_\frac{1}{2}x^2 \cdot -1 \therefore x^2 -4 = \log_{\frac{1}{2}}(x^2)^{-1} \therefore \\\\ x^2 - 4 = \log_{2^{-1}}x^{-2} \therefore x^2 -4 = \frac{\log_2 x^{-2}}{\log_2 2^{-1}} \therefore x^2 -4 = \frac{\log_2 x^{-2}}{-1 \cdot \log_2 2} \therefore \\\\ x^2 - 4 = \frac{\log_2 x^{-2}}{-1} \therefore 4 - x^2 = \log_ 2 x^{-2} \therefore 4-x^2 = \log_2\frac{1}{x^2} \therefore \\\\ 4-x^2 = \log_2 1 - \log_2x^2 \therefore 4 - x^2 = 0 - \log_2 x^2 \therefore \boxed{4 = x^2 - \log_2 x^2}[/tex3]

Att.,
Pedro

[theblackmamba]

Não, pois no logaritmando não temos um produto e sim uma soma. Você confundiu soma de logaritmos com soma de números no logaritmando.

Quando disse vice-versa foi querendo passar que a soma de logaritmos resulta no logaritmo dos produtos dos logaritmandos deles, e não a soma dos logaritmandos resultar em produtos dos logaritmos.

Veja:
[tex3]\log\,10=1=\log\,(5+5) \neq log\,5\cdot \log 5[/tex3] pois [tex3](\log\,5)^2\neq 1[/tex3]

Grande abraço

[PedroCunha]

Entendi!

Muito obrigado pela atenção e paciência!

Abraços